现在我们来计算一下不可约张量算符
??j1?Tm1在态?N2j2m2和态?Njm之间的
矩阵元，这里的N2与N代表除j2m2或jm外的其它量子数，由于算符
??R?P的正交性有：
??j1????R??,P??R?T??j1?P??1?R?P??R??,T?PN2j2m2NjmN2j2m2m1m1??Njm???
???j??j2??j????j1??????Dm?m?R??Njm?,?Dm1?1m1?R?TDR????N2j2m?m1m?22m2m?m??m??
???j??j2??j????j1????Dm?m?R?Dm1?1m1?R?Dm2R?,T??m2?NjmN2j2m?m12?? （28）
?m2?m?m1又由前面§5.8节?9??式知
Dm1?1m1?R?Dm?22m2?R???j??j???Cm?mj??j1j2??m?j?m?,m12Dm?m?R?C?j???j1j2?j?m,m1m2
j1?j2??C?j1j2??R?C?,m1?m2?Dm??1m?j?m??1m22,m1?m2?j???j1j2??,m1m2j?m??1m2 （29）
j??j1?j2将（29）代入（28）式得：
??Njm??j1??,T?N2j2m2m1??C?m2?j?m?m1?j1j2???j?m??1m?2,m1m2C?j1j2?j?m??1m?2,m1m2Dm?m?R?
?j??
?j????j1???Dm??1m?2,m1?m2?Njm?,T?N2j2m?m12??
上式两边对欧勒角?,?,?加权重sin得
?积分，并利用不可约表示正交性
??Njm??j1??,T?N2j2m2m1??C?m?j?m?m12?j1j2???j?m??1m?2,m1m2C?j1j2?j?m??1m?2,m1m2
??j1????Njm?,T?N2j2m?m12
?12j?1?jj??m?,m??m??m,m12?1?m2??
31
?C?j1j2?jm1?m2,m1m2?m,m1?m2???m?m?m12C?j1j2???m???jm12,m1m22j?1?m?,m??m?12
???Njm???j1??,T?m1N22jm?2?(30)
由（30）式知，求和部分仅与N,N2,j，j2有关，而与m,m1,m2无关，为简单起见，将求和部分记为：
TNjN2j2称为不可约张量算符的约化矩阵，则（30）式可写成：
??j1??,Tm1N22jm2
??Njm??C?j1j2?jm,m1m2??j1?TNjN2j2
（31）
上式就是维格纳-艾卡特定理的数学形式，说明一个不可约张量算符在角动量本征态之间的矩阵元等于一个C-G函数与其约化矩阵的直积.
由该定理可以看出，不可约张量算符的矩阵元与其中出现的C-G函数有相同的选择定则，即只有当
??j1j2j?，
j?j1?j2,j1?j2?1,??,j1?j2
（32） 以及
m?m1?m2
（33）
时不可约张量算符的矩阵元才不为零. 例1. 角动量算符的矩阵元
前面在§5.6节中，我们曾经得到角动量算符的矩阵元为：
?Y??,???L?lm?l?m?1??l?m?Ylm?1??,?? ??L??iL?L?xy ?33??
下面我们由不可约张量算符来导出这些矩阵元.
32
?,L?,L?可以组合成一阶不可约张量算符由本节（19）式知，Lxyz为：
1????1??T??Lx?iLy?12????1???T0?Lz???1??1L??iL??T?1xy2????
??（34）
前面得到的维格纳-艾卡特定理知：
?Y（35）
lm?1,l2??1???11?YT?Clm,mTl2m2llm1m212?
为了确定约化矩阵元Tll?1?，在上式中取m12?0，则有：
?Ylm?1,l2???11???11?Y?YT?YlmL?m2?ll2?mm2?Clm,0T l2m2zl2m2m1m2ll2???故得：
??11??Tll2m2Clm,0m2?1,l2??ll?mm22
而由前面§5.8节的讨论知：
Clm,0m2???1??1,l2?1?l?lClm,0m2?l2,1?Clm,m?l,1?1m2表知???1?1?l?lm2l2?l2?1??mm2
故
??11????1?1?l?lTll2l2?l2?1??ll2??l?l?1??ll2
代入（35）式得： （36）
则
33
?Y??,??lm??11?Y??,????C?1,l?Tlm2lm,m1m2m1?l?l?1?
而
?Y??,??lm??11?Y??,????C?1,l?T1lm2lm,1m2?l?l?1?
1
Clm,1m2???1??1,l?1?l?lClm,m21?l,1,???l?m??l?m?1??2????m,m2?1 2l?l?1???1 故
??l?m2?1??l?m2??2????m,m2?1 2l?l?1????Y??,??lm2??11?Y??,??????l?m2?1??l?m2??? T1lm2m,m2?1??2??1?由于
??1???1L??iL???1L?，故 T1xy?22???Y??,???L?lm??,????l?m?1??l?m??2Ylm?1
1与?33??式一致. 再由（35）式得：
?Y??,??lm??11?Y??,????C?1,l?T?1lm2lm,?1m2?l?l?1?
而
1
Clm,?1m2?1,l?1?l?l?l,1,????1?Clm,m?12??l?m??l?m?1??2????m,m2?1 2l?l?1?????l?m2?1??l?m2??2?????m,m2?1 ??2ll?1??1故
?Y??,??lm??l?m2?1??l?m2??2?11???,???T?1Ylm2???m,m2?1 ?2??1?由
34
??1??1L??iL??1L?故 T?1xy?22???Y??,???L?lm??,?? ??l?m?1??l?m??2Ylm?11与?33??式一致. 例2. ?跃迁中的选择定则
原子核是电 极与 极 射，在计算跃迁矩阵元时，我们通
常要计算矩阵元.
???N1j1m1??,??,Ylm??,???N22jm2??,???
其中球谐函数Y???? （m??l,?l?1,??,l），共有2l?1个分量，
,lm可以证明Y????是l阶不可约张量，因此：
,lm??R?Y??,??P??1?R????,???P??R?Y??,????R??,??? Plmlm
?YlmR??1?l???,??????,????Dm?m?R?Ylm???,?????,??
m?亦即：
?l???R?Y??,??P??1?R?? P?Dm?m?R?Ylm???,?? lmm?因此Y????是l阶不可约张量，这样，矩阵元.
,lm???N1j1m1??,??,Ylm??,???N1j12222jm2l,j???,????C?jm,mm21YN1jj1,N2j22?l?
其中YN?l?j,Nj约化矩阵元，由于存在C-G函数所以量子数间
满足三角形关系，
??l,j1j2?：j1?j2?l?j1?j2
m?m1?m2
这就是量子力学中我们熟知的?跃迁中的选择定则
35
36
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