角动量算符的本征值方程

角动量算符的本征值方程

在量子力学中，我们知道，角动量算符L，Ly，L满足本征值

xz???方程:

LxYlm??,??? ?1212i2i2?l?m?1??l?m?Yl,m?1??,????l?m?1??l?m?Yl,m?1??,??， (1)

LyYlm??,???? ???l?m?1??l?m?Yl,m?1??,????l?m?1??l?m?Yl,m?1??,??, (2)

LzYlm??,???mYlm??,??.

（3）

??L??iL?,则 或取L?xy?Y??,???L?lm?l?m?1??l?m?Ylm?1??,??, （4）

而

?2Y??,???l?l?1?Y??,?? Llmlm这一节, 我们将从SO(3)群的不可约表示出发，来导出这些关系. 由§5.3节(7)式知

?(R)f??,???Plm12l?m???lDm'm?R?flm'??1,?2??l?, (5)

(m,m???l, ?l?1, ??, l)其中flm??1,?2?取形式

flm??1,?2???1?2l?ml?m?l?m?!?l?m?! 其性质与球谐函数Ylm??,??相同，这里不妨将其取作球谐函数，这样（5）式变为：

1

?(R)Y(?,?)?Plml?m???lDm'm?R?Ylm?(?,?)

?l? (6)

首先考虑绕x轴转角为???0的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符

?x??R??e?i??L? ?1?i??LPxx???0 （7）

??由于绕x轴转动??角，可视为欧勒角为?动，这样由§5.4节(2)式知：

????Dm?m??,??,??2??2?l??2，????，???2的转

?l?m?!?l?m?!?l?m??!?l?m??!???1?k!?l?m?k?!?l?m??k?!?m??m?k?! k?0l?mk 亦即

Dm?m?Rx??l??????cos?2??2l?m?m??2k??????sin?2??m??m?2kei?2?m??m?

???0 ?l?m?!?l?m?!?l?m??!?l?m??! ???1????k!?l?m?k?!?l?m?k?!?m?m?k?!k?0l?mkm??m?2k (8)

???? ???2??ei?2?m??m?在???0时，展开式只保留??的零级与一级项， 则有： m??m?2k?0 或 m??m?2k?1. (9) (1) 当m??m?2k（阶乘要求），故k?0?0，亦即m??m??2k时，由于 m??m?k??k?0或m??m, 而

Dmm?Rx??1?l?

(10)

??k?1?0 (2)当m??m+2k?1, 或m??m??2k?1时，由于m??m?k（阶乘要求），且k?0，故k 当k

?0, 1.

?0时， m??m?1，或m??m?1，则由(8)式知：

2

Dm?1m?Rx???l??l?m?!?l?m?!?l?m??1?l!?m???l?m?!?l?m?1?!i??2)1?!i??????2??

=(l?m?1)(l?m)(? (11)

当k?l??1时，m??m??1，即m??m?1，则由（8）式得

Dm?1m?Rx???

??l?m?!?l?m?!?l?m??1?l!?m???l?m?!?l?m?1?!(l?m?1)(l?m)(?i??2)1????!i??2?? (12)

将（7）、（10）、（11）及（12）式代入（6）式得

i???Y(1?i??L)??,?Y??,?????xlmlm2l[?m(?l?1m)(Ylm?1?)??(,)

(l?m?1)(l?m)Ylm?1(?,?)]由此得

1?LxYlm??,???2?l+m?1??l?m?Yl,m?1??,??? （13）

12?l?m?1??l?m?Yl,m?1??,??与(1)式完全一致.

再考虑饶y轴转角为???0的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：

??R??e?i??Ly?1?i??L? Pyy?0，????????0 （14）

?0该转动的三个欧勒角分别为?式得

，?，将其代入§5.4节（2）

3

Dm?m?0,??,0???l?l?m???1?k=0k

?l?m?!?l?m?!?l?m??!?l?m??!?k!?l?m?k?!?l?m??k?!?m??m?k?!

2l?m?m??2k???? ?cos?2???????sin??2??m??m?2k在???0时，

在展开式中，只保留??的零级与一级项，则有

?l?m?!?l?m?!?l?m??!?l?m??!?Dm?m?0,??,0?????1???k!?l?m?k?!?l?m??k?!?m??m?k?!?k?l?k????2?m??m?2k （15）

m??m?2k?0 或 m??m?2k?1.

(1) 当m??m?2k?0，亦即m???0由于m??m?k??k?0m??2k时，

（阶乘要求），且k?0，故k

?l?或m??m，则

（16）

??k?1?0Dmm?Ry??1.

（2）当2k?m??m?1，或m??m??2k?1时，由于m??m?k（阶乘要求），且k?0，故k?0或k?1. 当k?0时，

(l)m??m?1，与上面同样的讨论知

当kDm?1m(Ry)??l?m?1??l?m????????? 2? （17）

?1时，m??m?1.

(l)与上面同样的讨论知

??2Dm?1m(Ry)??l?m?1??l?m? （18）

将（14）、（16）、（17）及（18）式代入（6）式得

i?LyYlm??,????2?l?m?1??l?m?Yl,m?1??,??? （19）

i2?l?m?1??l?m?Yl,m?1??,??与(2)式一致.

最后考虑饶z轴转角为???0的变换，在该变换下，若不考虑

4

自旋角动量，则函数变换算符为：

?z??R??e?i??L? P?1?i??Lzz.

???0 （20） . 将其代入§5.4节（2）

该转动的三个欧勒角分别为?式得

?0，??0，?????l?m?!?l?m?!?l?m??!?l?m??!m??m?2k?im??

Dm?m?0,0,???????1?0e.??k!l?m?k!l?m?k!m?m?k!??????k?l?k要使上式不等于零，m??m?2k?0，亦即m??m??2k. 另外,

?0m??m?k??k?0（阶乘要求），且k?0，故k或m??m. 又???0时，

e?im???1?im??，因此

?l?

Dmm?Rz??1?im??.

（21）

将（20）与（21）式代入（6）式得

?Y??,???mY??,?? Lzlml,m （22）

与（3）式一致.

?、L?及L?的本征值方程很这样，由SO（3）群的不可约表示，Lxyz自然地得到.

? 由（7）、（14）与（20）式知，绕单位矢量n、转角为???0的

无穷小转动算符为：

令??????P?Rn,????1?i??n?L

（23）

?m，其中m为一无限大的整数，?为一有限量，则

??R,???1?P?n?m????i?n?Lm

?对于有限转角为?的转动，可以看成是转角为??而成，所以

5

?m的m次连续转动

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