角动量算符的本征值方程(2)

??m???i?n?L???m???P?Rn,???limP?Rn,??lim?1???exp??i?n?L?. m??m??m?m??? (24)

??这就是沿任意方向n转角为?的转动算符，若假设n的角坐标为??,??，

则

???sin?cos??L?sin?sin??L?cos???n?L??L123????L?

iii?13其中

?1??sin?cos?，?2这样

3?????R,???exp??i?n?L??exp?i?? P?Ln??ii??i?1???sin?sin?，?3??cos?. （25）

（26）

由此可见，（25）式定义的?1,?2,?3为正则参数，这一点与三个欧拉角

?,?,?是不同的，我们知道?,?,?不是正则参数.

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§5.7 SO(3)群表示直积的分解

SO(3)群的两个不可约表示的直积仍然是SO(3)群的表示. 由§2.9节的讨论知，两个不可约表示的直积一般不再是可约的，它们可按克莱布什-戈登分解方式展开为一系列不可约表示的直和，即

D?l1?(R)?D?l2?(R)??l?alD(l)(R) （1）

其中?l为不可约表示D?l?(R)出现的次数，下面我们就来确定这种分解形式.

1. SO(3)群表示的特征标

在讨论SO(3)群表示的特征标之前，我们首先来证明下面的结论：

绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类. 证：设R????代表绕过o点的o?轴、转角为?的转动，如图1示.

z???oyx

图1

为简单起见，设o?轴在yoz平面上，上述转动可通过下述步骤进行：

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（1） 绕

ox轴转??角，故

?1o?与

oz轴重合，记该转动为

Rx?????Rx(?).

（2） 绕oz轴转?角，记该转动为Rz???.

（3） 再将o?绕x轴转?角回到原处，该转动为Rx(?). 这样

R?????Rx???Rz???Rx?1??? （2）

根据类的定义，上式中R????与Rz???属同一类，由于这里z轴的选取是任意的，因此我们得到结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类. 所以它们具有相同的特征标. 这样，只要我们知道通过原点o某一转轴转动某一角度不可约表示的特征标，也就知道了绕通过任意转轴转动相同角度的不可约表示的特征标.

由§5.3节(10)式我们知道，绕z轴转动?角的不可约表示为：

Dm?m?0,0,????m?me?l??im? （3）

这样由上面的讨论知，SU（2）群的绕通过原点o任意轴转过?角的不可约表示的特征标为：

l?l??m??le?im? k?l?m 2l e?il??ek?0ik??e?il?1?ei?2l?1??i?1?e

?e?1?i?l??2?????2?e?e?1i?l??2i?2????e?i1??sin?l???2????sin2

2. SO(3)群表示的直积的分解

为了求得(1)式中直积分解的系数，我们来求表示的直积

D?l1?(R)?D?l2?(R)的特征标.

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(l1)(l2)????D(R)?D(R)???(l1)???D(l2)(R)? ???D(R)????

??l1?l2l1

??m1??l1e?im1?l2?m2??l2e?im2?l1l2 ???m1??lm2??l2e?i?m1?m2?? m?m1?m2 其中

lmaxl

e?im???l?lminm??ll

故

lmin?l1?l2

lmax?l1?l2，而?l??m??le?im?

???D(l1)(R)?D(l2)l1?l2(R)????l?l1?l2?l

而由（1）式知：

(l)(l)D(R)?D(R)? ??????al?l

12l比较以上两式知，

al?1,

当 l?l1?l2, l1?l2?1, ??, l1?l2, 其它情况.

12al?0,

lll这个结果表明，在表示的直积D??(R)?D??(R)中，不可约表示D??(R)（l?l1?l2, l1?l2?1, ??, l1?l2）仅出现一次，即表示的直积有如下分解

l?l?l??l??l?l??l?l?1?(R)?D(R)????D(R) D(R)?D(R)?D12121212亦即

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D?l1?(R)?D?l2?l1?l2(R)? 如 D(12)?l?l1?l2?D?l?(R). (4)

(R)?D(1)(R)?D(32)(R)?D(12)(R).

?1??2??3??2??1? D(R)?D(R)?D(R)?D(R)?D(R).

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