角动量算符的本征值方程(6)

再例如

1 Cj1?1m1?1, m11Cjm1, m1m2, j?j1?1, m2?1.

?j,1??j,1?1??j1?1?j1?1?!?j1?1?j1?1?!?j1?1?j1?1?!?j1?1?m1?1?!?j1?1?m1?1?!?2j1?3??2????j?1?j?1?1!j?m!j?m!2!0!????????111111?????1?kk?j1?1?1?m1?k?!?j1?m1?k?!k!?j1?1?m1?1?k?!?j1?1?j1?1?k?!?j1?1?m1?1?k?!1??2j1?!2!0!?j1?m1?2?!?j1?m1?!?2j1?3??2????2j?3!j?m!j?m!2!0!????????11111????j1?m1?2?!?j1?m1?! ???0!2!?j1?m1?2?!?j1?m1?2?!1

?j1?m1?!?j1?m1?2?!??2!0!?j1?m1?!?j1?m1?!????j1?m1?1?!?j1?m1?1?!?1!1!?j1?m1?1?!?j1?m1?1?!?(j?m1?1)(j1?m1?2)?2??1??(2j?1)(2j?2)?11?1?1? ??j1?m1??j1?m1?1???j1?m1?1??j1?m1???j1?m1?2??j1?m1?1??2?2?1

??j1?m??j1?m?1??2??? ????2j?12j?211?? C-G系数有下列性质

Cjm1, 2m1m2???1??jj?j1?j2?jCj?1m2, ?m1?m2???1?1?jj?j1?j2?jCjm2, 1 m2m1?jj? 例如：

???1?j1?m1?2j?1?2?j1j???Cj2?m2, m1?m2j?1?2? （30）

Cj?1m2, ?m1?m2?C0???1?k(jj)k?j2?m2?j?j2?m1?k?!?j1?m1?k?!

k!?j?m?k?!?j?j1?j2?k?!?j1?j2?m?k?! (31)

其中：

1

??j?j1?j2?!?j?j1?j2?!?j1?j2?j?!?j?m?!?j?m?!?2j?1??2C0???j?j1?j2?1?!?j1?m1?!?j1?m1?!?j2?m2?!?j2?m2?!???

与求和无关，且在m, m1, m2变号情况下，其值不变. 令j?j1?j2?k?k?，则k?j?j1?j2?k?, (31)式求和项变为：

j?j1?2j2?m2?k? ???1?k??j?j1??j1?m1?k??!?j?j2?m1?k??!

j2?k??!k?!?j1?j2?m?k??!?j?m?k??!21

而

??1?j?j?2j?m?k122????1?j?j1?j2?4j2?j2?m2?k????1?j1?j2?j??1?k??j2?m2

这样

Cj?1m2, ?m1?m2???1?(jj)j1?j2?jC0???1?kk?j2?m2?

?j?j2?m1?k?!?j1?m1?k?!

k!?j?m?k?!?j?j1?j2?k?!?j1?j2?m?k?!121212 =??1?j?j?jC?jmj,jm?m. 其它性质亦可用同样方法予以证明.

例1：现在我们利用两波函数的耦合公式

?(r1r2)?jm?m1m22Cm1m12, ?jm?(jj)(r1)?j1m1(r2)?j2m2?m1m2Cjm1, 2m1m2??jj?j1m1(r1)?j2m2(r2) （32）

及表1所给的C-G函数来讨论两电子的合成自旋波函数，为此采用惯用的符号 ??1????0????,

????1?? ???1??2??0? (33)

1??2?分别代表自旋向上??Sz?j,m与自旋向下??Sz???的自旋波函数，用

代表合成的自旋波函数. 由于电子的自旋为j1?j2?12，则合成的总自旋为j?1, 0. 当j?1考虑到m?m1?m2，则由表1可得

时，m?1, 0, ?1. 当j?0时，mC?11????22?jm, m1m2?0.

系数，如表3示.

22

表3 j C?11????22?jm, m1m2函数

m2??1m2?12 ?2?????1121 1 ?3??m1?22????1??m1??22??? ?3??m1?22????1??m1?22????2?????1 0 ?2????? ?2????? 这样由（32）、（33）两式及上表可得：

?1,1???1???2??1????1???2????1???2?? ?1,0?2??1,?1???1???2??0,0?12???1???2????1???2??

以上合成波函数在量子力学中我们早就熟悉.

23

§ 5.9 张量算符

1.算符的变换

我们先看一下坐标转动时，算符的变换规则.

??r?，作用在波函数??r?后可得到另一波函数??r?，即 设有算符F??r???r????r?F

（1）

??R?，用P??R?作用在上式两边得： 设在坐标转动R下的算符为P??R?F??r???r??P??R???r? P求：

??R?F??r?P??R?P??R???r??P??R???r? P?1令

???r??P??R?F??r?P??1?R? F

（2） 且注意到：

??R???r???R?1rP??R???r???R?1rP??

??

则上式变为：

???r??R?1r??R?1rF????

(3)

又由（1）式知：

???r??R?1r??R?1rF????

(4)

24

因此： (5) 2. 矢量算符

??i?1,2,3?，在坐标转动变换下，它按如下?有三个分量F 如果算符Fi???r??P??R?F??r?P??1?R??F?R?1rF??

规则变换 (6) 或 (7)

?为矢量算符. 则该F???P??R?F?P??1?R??R?1F?F

???P??R?F?P??1?R??Fii?Rj?1ij??Fj?Rjji?Fj?i,j?1,2,3?

例1.算符?矢量算符.

???ei?xi是矢量算符（i?1,2,3）分别对应于x，y，z）是

?因为此时Fir??Rr???xi，在坐标经R变换后，

或

xi???Rjijxj

（8） 而

（9）

又由算符变换性质（5）知

25

??xi??j?x?j?(8)式?xi?x?j??jRji??x?j??r???Fi?Rjji??r?? Fj

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