2015年云南省昆明市中考数学试题及解析(4)

考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 专题： 数形结合． 分析： （1）先利用第一组的频数与频率计算出样本容量，再利用样本容量乘以20%即可得到a的值，用14除以样本容量得到b的值； （2）第二组的频数为10，则可补全频数统计图； （3）根据样本可得爱心捐款额不低于20元的百分比为28%+12%=40%，然后用总人数乘以40%即可估计出爱心捐款额不低于20元的学生数． 解答： 解：（1）5÷10%=50， a=50×20=10；b=（2）如图， ×%=28%； （3）1600×（28%+12%）=640（人）． 答：估计这次活动中爱心捐款额不低于20元的学生有640人． 点评： 本题考查了频数（率）分布直方图：频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．频数分布表列出的是在各个不同区间内数据的个数．也考查了样本估计总体． 19．（6分）（2015?昆明）小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字1，2的不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成3个相等的扇形，并分别标有数字﹣1，3，4（如图所示），小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）． （1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之积为负数的概率．

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考点： 列表法与树状图法． 分析： （1）首先根据题意列出图表，然后由图表求得所有可能的结果； （2）由（1）列出的图表可得出所有出现的结果，再根据概率公式即可求出答案． 解答： 解：（1）列表如下： ﹣1 3 4 1 1，﹣1 1，3 1，4 2 2，﹣1 2，3 2，4 （2）∵两数之积为负数的情况共有2种可能：（1，﹣1），（2，﹣1）， ∴P（两数之积为负数）==． 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20．（6分）（2015?昆明）如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15cm，CD=20cm，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： 在RT△ABE中，根据正切函数可求得BE，在RT△DEC中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后根据BD=BE+ED求解即可． 解答： 解：由题意得：∠AEB=42°，∠DEC=45°， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴在RT△ABE中，∠ABE=90°，AB=15，∠AEB=42°， ∵tan∠AEB=∴BE=， ≈15÷0.90=， 在RT△DEC中，∠CDE=90°，∠DEC=∠DCE=45°，CD=20， ∴ED=CD=20， ∴BD=BE+ED=+20≈36（m）． 第17页（共23页）

答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21．（7分）（2015?昆明）某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务． （1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路 1200 米； （2）求原计划每小时抢修道路多少米？ 考点： 分式方程的应用． 分析： （1）按原计划完成总任务的时，列式计算即可； （2）设原计划每天修道路x米．根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=10等量关系列出方程． 解答： 解：（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路3600×=1200米， 故答案为：1200米； （2）设原计划每小时抢修道路x米， 根据题意得：， 解得：x=280， 经检验：x=280是原方程的解． 答：原计划每小时抢修道路280米． 点评： 本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效． 22．（8分）（2015?昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

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考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可； （2）设OA=OE=x，则OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定222222理得：OB+BE=OE，即（10﹣x）+5=x，求出x的值，即可解答． 解答： 解：（1）如图1，连接OE， ∵OA=OE， ∴∠EAO=∠AEO， ∵AE平分∠FAH， ∴∠EAO=∠FAE， ∴∠FAE=∠AEO， ∴AF∥OE， ∴∠AFE+∠OEF=180°， ∵AF⊥GF， ∴∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE⊥GF， ∵点E在圆上，OE是半径， ∴GF是⊙O的切线． （2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10， ∴AB=CD=10，∠ABE=90°， 设OA=OE=x，则OB=10﹣x， 在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5， 由勾股定理得：OB+BE=OE， 222∴（10﹣x）+5=x， ∴， ， ∴⊙O的直径为． 222点评： 本题考查的是切线的判定，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 第19页（共23页）

23．（9分）（2015?昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）首先利用对称轴公式求出a的值，然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式，求出c的值，即可确定出抛物线的解析式． （2）首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标，再根据待定系数法，确定出直线AC解析式为y=﹣x+2；然后设点M的坐标为（m，﹣m+m+2），H（m，﹣m+2），求出MH的值是多少，再根据CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，据此求出m的值是多少，再把m的值代入抛物线的解析式，求出y的值，即可确定点M的坐标． （3）首先判断出△ABC为直角三角形，然后分两种情况：①当当==时；②2时；根据相似三角形的性质，判断出是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可． 解答： 解：（1）∵x=﹣=，b=， ∴a=﹣， 把A（4，0），a=﹣代入y=ax+x+c， 可得（）×4+×4+c=0， 第20页（共23页）

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