张晓峒分位数回归讲义(2)

??1?(?)=1/f(F??1(?))，Falk(1988)和Welsh(1988)提出了用核密度法估计根据(15.7)式有s(τ)= F??1?(?)进而得到s(τ)的方法。而Powell(1986)、Jones(1992)以及Buchinsky(1995)则通过估计F??1(?))来得到s(τ)。1/f(FEViews中使用的方法属于后者，沿用了Powell(1984,1989)中的计算方法，

其选项名称为Kernel(residual)： ?(?)?1/[(1/T) s?cT?1K(u?(?)i/cT)] (15.13)

i?1T其中?(τ)表示分位数回归的残差；cT为带宽；K表示核密度函数。EViews中可以选择的核密度函

数有Epanechnikov核函数、均匀 (Uniform) 核函数、三角(Triangular)核函数、二权(Biweight)核函数、三权(Triweight)核函数、正态(Normal)核函数、余弦(Cosinus)核函数。

EViews中使用了Koenker(2005)提出的带宽，表达式为：

cT?k(??1(??hT)???1(??hT)) (15.14)

其中k表示Silverman(1986)的一个稳健估计量；hn是Siddiqui带宽。

(2) 独立但不同分布假设下的参数渐近分布

?(?)??(?))的渐近分布服从当分位数密度函数独立但不同分布即与解释变量X相关时T(?Huber sandwich形式：

???)~N(0,?(1??)H(?)?1JH(?)?1) (15.15) T(?(?)(?)其中J同(15.6)式，H的表达式如下：

H(?)?lim(XiXi?fi(qi(?))/T) (15.16) ?T??i其中fi(qi(?))是个体i在第τ分位数上的条件密度函数。如果条件密度函数不依赖于观测值，式（15.15）中的方差就退化为(15.5)式中的方差。

对于H，EViews提供了两种计算方法。第一种是Hendricks和Koenker(1992)提出的Siddiqui差分法；另一种是Powell(1984,1989)提出的核密度法。这两种方法与在独立同分布假设时计算s(τ)的算法相同，因此在EViews选单中的名称相同，分别为Siddiqui (mean fitted)和Kernel (residual)。

①Siddiqui差分商法

这种方法需要对每个个体估计τ - hn和τ + hn两个分位数回归模型，将拟和值代入下式：

?(q(?))?2h/(F??1(q(??h))?F??1(q(??h)))fiiTiiTiiT (15.17)

?? ?2h/(X?(?(??h)??(??h)))TiTT由于分位数密度函数非同分布，因此，我们需要为每一个个体估计fi(qi(?))，这时当取

Xi?X时，不能保证(15.17)式为正，因此，Hendricks和Koenker对其进行了修正：

?(q(?))?max(0,2h/(X?(??(??h)???(??h)??)) (15.18) fiiTiTT其中δ是一个很小的正数，避免上式中分母为零。将(15.18)式代入(15.16)式，得到H的估计量为

?(q(?))XX?/T (15.19) ?(?)?f H?iiiii6

②核密度法

Powell(1984,1989)提出的用核密度法估计H的表达式为： ?(?)?(1/T) H?cT?1K(u?(?)i/cT)XiXi? (15.20)

i?1T其中?(τ)表示分位数回归的残差；cn为带宽；K表示核密度函数；各参数含义与(15.13)式相

同。

（3）参数渐近分布的自举法

前面的方法都是先求出分位数密度函数，然后再得到参数的渐近分布。自举法则可以省略这一步，直接得到参数的方差协方差阵。EViews中给出了四种自举方法，分别为：残差自举，XY对自举，以及两种马尔可夫链边际自举法MCMB和MBMB-A。其中前两种方法见Buchinsky (1995)。

①残差自举法(residual bootstrap)

这种方法要求解释变量与随机误差项不相关。它是对残差和解释变量分别进行有放回的再抽样，构造样本容量为m的新序列u*和X*(其中m可以小于原样本容量T)，然后运用初始参数估

??u*，最后用X*和Y*估计新的参数β(τ). 计量构造被解释变量，即y*?X*?(?)如此重复K次，则参数方差协方差阵的估计量为： ?)?T(m)1?(? VTB?(??j(?)??(?))(??j(?)??(?))? (15.21)

j?1B其中?(?)是自举参数估计量序列的均值。EViews选单中称这种方法为Residual。

②XY对自举法(XY-pair or design bootstrap)

这是最常用的一种自举方法，它不要求随机误差项与解释变量相互独立。使用这种方法时，我们从原始数据中有放回的抽取K次样本容量为m的子序列(y*, X*)，然后用每个子序列计算β(τ)，最后运用(15.21)式计算参数方差协方差阵的估计量。EViews选单中这种方法称为XY-Pair。

③马尔可夫链边际自举法(Markov Chain Marginal Bootstrap) 以上两种自举法往往计算量过大，当方程中含有p个参数时，每次自举都需要解一个p维的线性规划问题。He和Hu(2002)提出了一种新的自举法，将一个p维的最优问题简化为求解一个含p个元素的序列的一维问题。这个序列的一维解就构成了一个马尔可夫链，其样本方差协方差阵可由(15.21)式计算，且当原序列样本容量T和自举次数K较大时具有一致性。EViews选单中把这种方法称为MCMB法。

然而，给定链长B(即自举次数)，上述方法计算的参数序列之间往往存在较强的自相关从而导致参数方差协方差阵估计量的统计特性较差，有可能对任何链长B，估计量都不能收敛。Kocherginsky、He和Mu(KHM,2005)提出了一种修正的方法消除可能存在的自相关。即通过先对参数空间进行某种转换，运用MCMB算法进行估计，然后再转换回原来的空间，这种方法叫做MCMB-A。它要求独立同分布的假设条件，但它对异方差的情况表现的比较稳健。Kocherginsky、He和Mu还建议对于满足T?min(τ, 1-τ) > 5p的情况，当T ≤ 1000，p ≤ 10时，B应取在100至200之间。对于Tp在10,000到2,000,000之间的情况，建议B取在50至200之间，当然，还取决于用户的耐心。

15.5 分位数回归模型的检验

评价分位数回归函数好坏的统计量主要有3个，拟合优度、拟似然比检验和Wald检验。 （1）拟合优度(Goodness-of-Fit)

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Koenker和Machado(1999)提出了分位数回归的拟合优度的概念。它与一般回归分析中的R2

很类似。

假设分位数回归直线为

? ?(?)?X?? y(?)??(???将解释变量矩阵和参数向量都分为两部分，即X?(1,Z)?和?(?)0(?),?1(?))?，且有 ?(?)??0(?)?Z??1(?) y定义：

??min[? Q(?)t:yt?X??(?)????TT??(1??)(yt??0(?)?Z??1(?))?Tt:yt?X??(?)??(yt??0(?)?Z??1(?))] (15.22) ???T~ Q(?)?min[??(1??)(yt??0(?))?t:yt?X??(?)t:yt?X??(?)???(yt???0(?))] (15.23)

式(15.22)和(15.23)分别表示无约束分位数回归目标函数（最小绝对离差和）和约束的分位数回归

目标函数（最小绝对离差和）的极小值。无约束目标函数中的减项既包含常数项也包含所有回归因子。约束目标函数中的减项仅包含常数项，其他参数都约束为零。则Koenker和Machado拟和优度准则表达式如下：

?Q(?) R(?)?1?~ (15.24)

Q(?)*~*??Q很明显，上述统计量与传统的R2非常相似。因为Q(?)(?)，所以R(τ)的值在0和1之间，解~**?越远远小于Q释变量的作用越强，Q(?)，R(?)越接近1。反之越接近0。所以R(?)可用来(?)考察解释变量对被解释变量第τ分位数回归拟和的好坏。

（2）拟似然比检验(Quasi-Likelihood Ratio Tests)

Koenker和Machado(1999)根据目标函数在施加约束条件前后得到的两个极小值构造了两个拟似然比检验统计量（QLR）。这两个拟似然比检验也称作分位数ρ检验(quantile-ρ tests)。两统计量的表达式如下：

LT(?)?~?)2(Q(?)?Q(?)?(1??)s(?)?2Q(?) (15.25)

~Q(?)?T(?)?log() (15.26)

??(1??)s(?)Q(?)~两个统计量都渐近服从自由度为q的χ2分布，其中q是原假设目标函数中约束条件的个数。Q(?)?分别代表约束的和无约束目标方程的极小值。 和Q(?)另外，两个统计量的分母都含有稀疏项s(τ)，上面给出的稀疏项s(τ)的3种计算方法都可在式（15.25）和（15.26）中使用。EViews估计的是其在备择假设下的估计量。

使用上述两统计量的前提是必须满足分位数密度函数s(τ)与解释变量X不相关。然而，尽管

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有时并不满足独立同分布的假设，EViews在进行分位数回归的时候，不管选择何种估计参数渐近分布的方法，总会估计稀疏函数s(τ)，从而构造拟似然比（QLR）检验统计量。因此，这种检验方法与下面的Wald统计量相比稳健性较差。

（3）Wald检验

给定分位数回归参数估计量的渐近方差协方差矩阵，我们就可以构造Wald形式的统计量进行各种约束形式的参数检验。

31.3.5 系列分位数回归检验

前面的分析主要集中在单个分位数回归模型的假设检验上，而有些时候也需要对一系列分位数回归的回归系数进行联合检验。比如，需要通过检验不同分位数模型的斜率是否相等来判断一个模型是否具有位移特征。同时考虑多个分位数回归式称作系列分位数回归分析（quantile process testing）。EViews在做单方程分位数回归的同时，有专门命令执行系列分位数回归分析。

操作路径是在一个分位数回归估计结果窗口，点击View键，选Quantile Process/Process Coefficients功能。

定义系列分位数回归系数列向量为， ??(?(?1)',?(?2)',??(?m)')? (15.27) 则有

???)~N(0,Ω) (15.28) n(?其中Ω由如下形式的块矩阵Ωij(km×km)组成：

Ωij?[min(?i,?j)??i?j]H?1(?i)JH?1(?j) (15.29) i, j=1, 2, … m. k为方程待估参数个数。其中J的表达式见(4)式。H的表达式见(15.19)或(15.20)式，

取决于选择的估计方法。特别的，当误差项独立同分布的假设成立时，Ω简化为： Ω?Ω0?J (15.30) 其中Ω0中的元素如下： ?ij?min(?i,?j)??i?jf(F?1(?i))f(F?1(?j)) (15.31)

i, j=1, 2, … k.除了以上的方法以外，Ω的估计量还可以由任何一种自举方法得到。

（1）斜率相等检验

Koenker和Bassett(1982a)提出了一种对异方差很稳健的判断不同分位数回归方程斜率是否相等的检验。零假设如下：

H0:?1(?1)??1(?2)????1(?m)

其中β1指常数项以外的解释变量所对应的(k-1)维参数列向量。因此，零假设共含有(k-1) (m-1)个约束条件。接下来构造Wald形式的统计量检验零假设是否成立，它渐近服从自由度为(k-1) (m -1)的χ2分布。

（2）对称性检验

将Newey和Powell(1987)检验最小二乘估计量对称性的方法扩展到分位数回归中。假设我们要检验的分位数回归模型有m个，m是奇数，且中间值τ (m+1)/2是0.5，其他τ都关于0.5对称，即τj=1? τm-j+1, j=1,…,(m-1)/2。参数估计量按照τk的大小排序。则对称性检验的零假设为：

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H0:?(?j)??(?m?j?1)2??(0.5) (15.32)

其中j=1, …, (m?1)/2。m是奇数，代表分位数回归个数。即关于0.5对称的分位数回归参数估计量的两两平均值等于中位数回归参数估计量。

我们可以构造Wald形式的统计量检验上述k(m-1)/2个约束条件是否成立。该统计量服从自由度为k(m?1)/2的χ2分布。另外，Newey和Powell指出，如果我们已知随机误差项服从独立同分布，但不一定对称，则我们只需检验常数项的对称性。即

?0(?)??0(?m?j?1)j??0(0.5) (15.33) H0:2这时约束条件减少为(m-1)/2个。

15.6分位数的计算与分位数回归的EViews操作

（1）分位数的计算

对一个离散的随机变量yt，取其容量为T的样本序列，计算第τ分位数的方法如下：

首先将数据从小到大排序，标号为i，i =1, 2, …, T。然后利用下表所列的方法计算随机变量yt的第τ分位数的排列序号的i；如果i为整数，则随机变量yt的第τ分位数即为yi，如果i不是整数，则随机变量yt的第τ分位数为：

y(τ)= y[i] + (i ? [i])( y[i]+1 ? y[i])

其中[i]表示不大于i的最大整数。给定一个具体的随机变量yt，对于一个容量为T的样本，则yt的第τ分位数的序号i的计算方法如下。在大样本情况下，各方法收敛到同一值。

Rankit

Ordinary Vander Waerden

Blom

Tukey

Gumbel

(τ?1/2)/T τ/T τ/(T+1) (τ?3/8)/ (T+1/4) (τ?1/3)/ (T+1/3) (τ?1)/ (T?1)

计算分位数的EViews 6.0的命令为：scalar q=@quantile(y, τ, s)，其中y表示求分位数的序列；τ表示要取的分位数；s取1~6依次表示上表中6种计算方法，计算所得结果存入标量q中。

例：打开6garch-03文件，在空白处键入命令： scalar q=@quantile(DASH, .5,1) scalar q=@quantile(DASH, .25,1)

意即对序列DASH求中位数。得结果DASH (0.5)= -0.78，DASH序列的中位数是-0.78。DASH (0.25)= -13.33，DASH序列的第0.25分位数是-13.33。

用DASH画分位数图如下。打开DASHt序列窗口，点击View键选Graph功能。在打开的Graph Option窗口，Type选择页的Specifi选择框选Distribution，在Details的Distribution选择框中选Emprical Quantile如图。点击“确定”键，得分位数图如图。

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