所以，通过点（0，0）的一切解为y?0及
??3??(x?c)2?|y|=
0(x?c)(x?c),c?0是常数
/?t
25.求解常系数线性方程：
解： (1)
x//?2x?3x?ecos
??2??3?0,2?1,2?1?e(c1cost2i2t?c2sin
2t) 齐次方程的通解为x=
?t (2)???1?i不是特征根，故取x?(Acost?Bsint)e54
代入方程比较系数得A=41，B=-41
x?(541cost?441sint)e?t于是
1(5cost?4sint)e?t 通解为x=e(c1cos
t2t?c2sin2t)+41
26.试求方程组x?Ax的一个基解矩阵，并计算e??1?4解： det(?E?A)=
?2/At?1,其中A为??4?2?? 3????3???4??5?02
所以，?1??1,?2?5
设?1??1对应的特征向量为v1
??2???4 由??2??v1?0?4???1?可得v1?????1??????0
?1?v1????1???? 取
?1?同理取v2???2????
e5t5t 所以，
?(t)?e=
?tv1ev25t??e?t??t????e2e????
27.试讨论方程组
dxdt?ax?by,dydt?cy （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且
ac?0。
解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件
abc?ac?0
0，故奇点为原点（0，0）
a??bc?????(a?c)??ac?02 又由det(A-?E)= ?1?a0得
?2?c
所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：
???a?0,c?0,稳定结点?ac?0奇点为结点??a?c??a?0,c?0,不稳定结点???ac?0奇点为鞍点（不稳定）????b?0,奇点为退化结点?a?0,c?0，稳定结点?a?c??b?0,奇点为奇结点??a?0,c?0,不稳定结点?a，c为实数?
28.试证：如果?（t）是x/?Ax满足初始条件?(t0)??的解，那么 ?(t)?e?A(t?t0)??
证明： 设?(t)的形式为?(t)=eC （1）
At （C为待定的常向量） 则由初始条件得 又
(e???(t0)eAtC=
0At0)?1=e?At0 ? 所以，C=
(eAt0)?1=eAt?At0?
A(t?t0)ee 代入（1）得?(t)=
?At0??e?
即命题得证。
29.求解方程(2xy?xy?2y33)dx?(x?y)dy?0
22
?M解：因为?y?2x?x?y,?N?x22?N?x?2x
?M 又因为?y??N
x 所以方程有积分因子：u(x)= e 方程两边同乘以e得：
xy23xe(2xy?xy?3)dx?e(x?y)dy?0
x2xx22e(2xy?xy)dx?exdy]?[e［
x2y33dx?eydy]?0
x2exy?e也即方程的解为
x2xy33?c．
x?y??3xy??0(y??30.求解方程
33dydx
)dy解：令，dx?y??p?tx，则
x?tx?3tx?0即
3332x?3t1?t
3p?tx? 从而
3t231?t
3t2y? 又
?(1?t3)?(1?t3)dt?c31?4t33t
＝
故原方程的通解为
2(1?t)32?c
3t?x?3?1?t??331?4t?y??c32?2(1?t)?2 t为参数
dx31.求解方程 dt2?2dx2dx?3x?2t?1dt ?2dxdt?3x?03t2解：齐线性方程dt2的特征方程为??2??3?0 ，e?t 故齐线性方程的一个基本解组为e，
因为??0不是特征方程的特征根 所以原方有形如 将
x(t)＝B0t?B1的特解
代入原方程，比较t的同次幂系数得：
x(t)＝
B0t?B1?3B0t?(?2B0?3Bt?11)?2
??3B0?213?B1?B0???2B0?3B1?19 2， 故有?解之得：
所以原方程的解为：
x(t)?c1e3t?c2e?t?(?32t?19
)dy32.求方程dx解：
?x?y2经过（0，0）的第三次近似解.
2?0?y0?0x?1
x??xdx?20x .
?2?
?(x?0x44)dx?x22?x205
x?3?
?(x?0x44?x10400?x207)dx
8x
2 ＝2?x520?x114400?x160
33.试求：
?2?1???1?12?1?2?1???11???1?2???12?1的基解矩阵
解：记A=得设
1???1?2??,又
p(?)?det(?E?A)?(??1)(??2)(??3)?0
?1?1?1，
?2?2,?3?3v1均为单根 .
对应的特征向量为，则由
(?1E?A)V1?0得
同理可得
?0???v1??,??0???????取
?0???v1?1????1??,
?2,?3对应的特征向量为：
?1??1?????v2?1,v3?0???????1???1??
则令
?1(t)?ev1,?2(t)?ev2,?3(t)?ev3?(t)?(?1(t),?2(t),?3(t))
t2t3t均为方程组的解 .
0w(0)?det?(0)?1又所以
11110?01
即为所求。
1?(t)?(?1(t),?2(t),?3(t))
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