贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题

2013届天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考

数学试题（理）

考试说明：

1．本试卷考试时间120分钟．

2．答卷前，考生务必在答题卡上写好班级、姓名、考号． 3．将每题的答案写在答题卡上的指定位置．

4．考试结束，将答题卡交回，答案写在试卷上视为无效答案．

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知集合M?{x|x2?1?0}，N?{y|y?log2(x?2),x?M}，则M?N?（ ）

A．(0,1) B．(?1,1) C． (?1,0) D． ? 2. 在复平面内，复数?1所对应的点位于 （ ）

i1A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设a=lge,b=(lge)2,c=lge，则（ ）

A. a>b>c B. c>a>b C. a>c>b D. c>b>a

???????4. 若a?2，b?4且（a?b)?a，则a与b的夹角是（ ） A．

2?3 B．

?3 C．

4?3 D．?2?3

5．已知x为实数，条件p：x2?x，条件q：

1x?2，则p是q的( )

A．充要条件 B．必要不充分条 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 若棱长均为２的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为 （ ） A.

33 B. 7 C.

233 D.

213

7. 若数列?an?的通项为an?A．1?1n?22n(n?2)1n?1，则其前n项和Sn为（ ）

32?1n?1n?2 B．

32?1n? C． D．

32?1n?1?1n?2

8. 要得到函数y?2cos(2x?A．向左平移

?4?3)的图象，只需将函数y?sin2x?3cos2x的图象（ ）

个单 B．向右平移

?2个单位 C．向右平移

?3个单 D．向左平移

?8个单位

9. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为 （ ） A.24种 B.30种 C.36种 D. 81种 10. 如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形， 俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的 体积是 ( )

正视图

侧视图

俯视图

A．

83 B.

y283x2 C.

243 D.

43211. 双曲线

?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线 2ab为y?2x，则该双曲线的离心率等于（ ）

A．

52

23B．5 C．6 D．

62

12. 如果(1x2+x)的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x围成图形的面积为

（ ）

224二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

A.

27 B. 9 C.

9 D.

27

13. 已知??(?,2?),tan???2,则cos?? 。

14. 若某算法流程图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于 。

?x?y?1?0?15.已知实数x、y满足?x?y?2，则2x+y的最大

?x?1?开始 A=1，B=1 A=A+1 A<6？ 否 是 B=2B+1 值是 __ __ 。

16. 对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)=x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点，若二

输出B 次函数f(x)=x+2ax+a没有不动点，则实数ａ的取值范围是 。

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量m?(cosA,cosB),n?(2c?b,a)，且m?n。

22结束 （Ⅰ） 求角A的大小；

（Ⅱ） 若a=43，b?c?8，求△ABC的面积。

18．（本小题满分12分）

某产品在投放市场前，进行为期30天的试销，获得如下数据：

日销售量（件） 0 1 2 3 4 5 频数 1 3 6 10 6 4 试销结束后（假设商品的日销量的分布规律不变），在试销期间，每天开始营业时商品有5件，当天营业结束后，进行盘点存货，若发现存量小于3件，则当天进货补充到5件，否则不进货。 （Ⅰ）求超市进货的概率；

（Ⅱ）记?为第二天开始营业时该商品的件数，求?的分布列和数学期望。 19. （本小题满分12分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为23的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．

（Ⅰ）求证：A1A⊥BC；

（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时， 求二面角A1—AC—B的余弦值；

20．（本小题满分12分） 已知椭圆C：

DA1B1C1AOBCxa22+yb22=1(a>b>0)的离心率为22，其

中左焦点F(?2,0)。

（Ⅰ） 求出椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线y=x+m与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆x+y=1上，求m的值。

21．（本小题满分l2分）

已知函数f(x)?(x?1)lnxx?1(x?0,且x?1)

22 （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：f(x)?2 。

选考题（本小题满分10分）（请考生在22、23、24三题中选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。）

22．选修4-1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，?APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，

（Ⅰ）证明：?ADE??AED； （Ⅱ）若AC=AP，求

23．选修4-4：极坐标与参数方程

已知点P(1?cos?,sin?)，参数???0,??，点Q在曲线C：r?AEDCOBPPCPA的值。

92sin(???4上。

)（Ⅰ）求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P与点Q之间的最小值。

24．选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?log2(x?1?x?2?m)。 （Ⅰ）m=7时，求函数f(x)的定义域；

（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)?2的解集是R，求m的取值范围。

四校联考（理科）数学参考答案

一．1-12依次为 ADCAB，DDABA，AC 二．13、

55； 14、63 ； 15、4； 16、(4,??)

三．解答题（共6小题，满分70分） 17．解：（Ⅰ）?m?n

? m?n?(cosA,cosB)?(2c?b,a)?0 （2分） 即(2c?b)cosA?acosB?0

由正弦定理可得(2sinC?sinB)cosB?sinAcosB?0

整理得sinC?2sinCcosA?0 （5分）

?0?C??,?sinC?0

?cosA??12,?A?2? （6分） 3（II）由余弦定理可得 a2?b2?c2?2bccosA, （8分）

22248?b?c?bc?(b?c)?bc?64?bc 即bc?16 （10分）

故 S??12bcsinA?121030?16?324?43 （12分）

18．解：（1）P（进货）= P（销售3件）+ P（销售4件）+ P（销售5件） =

?630?30?23 （5分）

630?15 （2）?的取值是3，4，5. p（??3）? p（??4）?3?1 ? P 3 154 1105 710301010117?5??4?5 （12分） ?E??3??4?51010 p（??5）?7 即分布列是：

19．解法一：（Ⅰ）连结AO， …………………1分

A1O⊥面ABC，AO是A1A在面ABC的射影 …………………3分 ∵ AO⊥BC …………………4分

∴ A1A⊥BC． ………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A1AO=45° ………7分

由底面是边长为23的正三角形，可知AO=3 …………8分 ∴A1O=3，AA1=32 ………9分 过O作OE⊥AC于E，连结A1E，

则∠A1EO为二面角A1—AC—B的平面角 ………10分

∵OE=3，∴tan∠A1EO=

2A1 D B1

C1

A B

E F O

C

?3?2………11分 OE32

A1O

即二面角A1—AC—B的余弦值为5． ………12分 5解法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系． （Ⅰ）由题意知∠A1AO=45°，A1O=3．

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