常微分方程期末复习

1.求下列方程的通解。

dydx?4ey?ysinx?1.

解：方程可化为

dedx??e?4sinx?1

y 令z?ey，得

dzdx??z?4sinx

由一阶线性方程的求解公式，得 z?e?(?1)dx(?4sinxe??(?1)dx)dx?c?e?x?2(sinx?cosx)?e?c?2(sinx?cosx)?cex?x所以原方程为：ey＝2(sinx?cosx)?ce?x

2.求下列方程的通解。

dy2?2?y?1?()??1.

dx??解：设

dydx?p?sint，则有y?sect， 1?sectdt?c?从而x??sinttgt?sec2tdt?t?tgt?c ，

故方程的解为(x?c)2?1?y2， 另外y??1也是方程的解 .

3.求方程

解：?0(x)?0 ?1(x)? ?2(x)? ?3(x)??dydx?x?y通过(0,0)的第三次近似解.

2?x0xxdx?(x?1412x

42?0x)dx?12x?2120x

x5?x012152??x?(x?x)?dx??220??x?2?014117??10x?x?x?x?dx ?440020??x

812120x?514400x11?1160

4.求解下列常系数线性方程。

x???x??x?0

解：对应的特征方程为：?2???1?0，

3232.解得?1??12?i,?2??12?i

所以方程的通解为：x?e

5.求解下列常系数线性方程。

x????x?e

t1?t2(c1cos32t?c2sin32t)

解：齐线性方程x????x?0的特征方程为?3?1?0，解得?1?1,?2,3?12?1?23i，

故齐线性方程的基本解组为：e,et?cos32i,e?12sin32i，

t因为??1是特征根，所以原方程有形如x(t)?tAe，代入原方程得，

3Ae?Ate?Ate?e，所以A?tttt13，所以原方程的通解为x?c1e?c2et?12

cos32i?c3e?12sin32i?13te

t

6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：

dxdt??x?y?1,dydt?x?y?5

解： ???x?y?!?0?x?y?5?0解得??x?3?y??2 所以奇点为（3,?2)

经变换，??X?x?3?Y?y?3

?dx?dt??X?Y?1 方程组化为? 因为

dy1??X?Y?dt?1?1?0,

又

??1?11??1?(??1)?1?0 所以?1??1?i,?2??1?i，故奇点为稳定焦点，

2所对应的零解为渐近稳定的。

7.设?(t)为方程x??Ax（Ａ为n?n常数矩阵）的标准基解矩阵（即?(0)?E)，证明

?(t)??1(t0)??(t?t0)其中t0为某一值

证明：?(t)为方程x??Ax的基解矩阵??1(t0)为一非奇异常数矩阵，

所以?(t)??1(t0)也是方程x??Ax的基解矩阵，且?(t?t0)也是方程x??Ax 的基解矩阵， .

且都满足初始条件?(t)

??1(t0)?E，?(t0?t0)??(0)?E

所以?(t)??1(t0)??(t?t0)

即命题得证。

8.求方程4x2y2dx?2(x3y?1)dy?0的通解 解：

?M?y?8xy,2?N?x?6xy

2?M

?y??N?x??12y??M 积分因子?(y)?e?2ydy1?y?12

122 两边同乘以?(y)后方程变为恰当方程：4xy3dx?2y

?u?x?u?y22?(xy?1)dy?0

3?M?4xy3 两边积分得：u?13'31243?3xy2??(y)

123 ?2xy2??(y)?N?2xy2?2y1

得：?(y)??4y2

1 因此方程的通解为：y2(x3y?3)?c

9.求方程

dydx'dydxdy?edx?x?0的通解

解：令?y?p 则p?ep?x?0

得：x?p?ep 那么y??ppdx?2?ppp(1?e)dp

?2?pe?ep?c .

?x?p?ep?2 因此方程的通解为：? pp?(p?1)e?c?y?2?

?dy22??x?y10.求初值问题?dx R:x?1?1,y?1的解的存在区间，并求第二次近似解，

??y(?1)?0给出在解的存在区间的误差估计 解：M?maxf(x,y)?4

(x,y)?R x?x0?1?a,y?y0?1?b，h?min(a, 解的存在区间为x?x0?x?1?h? 即?54?x??3414bM)?14，

令?0(x)?y0?0

x2 ?1(x)?0???1xdx?x33?13

3374?2x12?xxxx11?)?dx????? ?2(x)?0???x?(

?133?36318942?x 又

?f?y??2y?2?L

误差估计为：?2(x)??(x)?

11.求方程x?9x?tsin3t的通解 解：??9?0??1?3i,?2??3i .

2MLn(n?1)!hn?1?124

'' ??3i是方程的特征值， 设x(t)?t(At?B)e3it 得：x\?(2A?9Bt?12Ait?6Bi?9At2)e3it 则2A?12Ait?6Bi?t 得：A??112i,B?136? .

112tcos3t?2 因此方程的通解为：x(t)?c1cos3t?c2sin3t?

12.试求方程组x'?Ax?f(t)的解?(t).

??1??1 ?(0)???,A???1??42??et??,f(t)??? 3??1??2?(??1)(??5)?0

136tsin3t

解：det(?E?A)???1?4??3 ?1??1,?2?5 (?1E?A)v1?0 得 v1??????1?v? 取1?? ???1?????????1?v? 取2???

2????2? (?2E?A)v2?0 得 v2???e?t 则基解矩阵?(t)??t??e? 5t?2e?e0???1???e?t?1????? ?t?1e?2?????5t ?(t)??1?e?t(0)????t??e??1?15t?2e???2e5t?35t1t2?t?20e?4e?5??1 ?(t)??(s)f(s)ds??

t035t1t1??e?e??25??10 因此方程的通解为：?(t)??(t)??1(0)???(t)???1(s)f(s)ds

t0t2??35t1t?te?e?e??20?45 ?? 35t1t1??t?e?e?e??25??10

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库常微分方程期末复习在线全文阅读。