常微分方程期末复习(2)

13.试求线性方程组性 解：?dxdt?2x?7y?19,dydt?x?2y?5的奇点，并判断奇点的类型及稳定

?2x?7y?19?0?x?1 ??x?2y?5?0y?3?? （1，3）是奇点 令X?x?

dXdt192,Y?y?dYdt52

?2X?7y,?x?2Y

21?7?22?0?7??23?0，那么由??123i,?2??3i

7??2?0??2723???0

??2 可得：?1? 因此（1，3）是稳定中心

14.证明题：如果?(t)是

?(t)??expA(t?t0)??

x?Ax满足初始条件?(t0)??的解，那么

'证明：由定理8可知?(t)??(t)??1(t0)???(t)???1(s)f(s)ds

t0?1?1 又因为?(t)?expAt,?(t0)?(expAt0)?exp(?At0)

t f(s)?0

所以?(t)?expAt?exp(?At0)? 又因为矩阵(At)?(?At0)?(?At0)?(At) 所以?(t)??expA(t?t0)?? 即命题得证。

15.求下列方程的通解

3ydx?(x?y)dy?0

?N?1,??1?x解：因为?y，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子

?M?(y)?e??ydy2?e?lny2?31y2，

两边同乘

1y2得

dxy?x?yy2dy?0

所以解为

?x????x?y31ydx????2y?yy???y2???dy?c ???xy

?2?c即2x?y(y2?c)另外y=0也是解

16.求下列方程的通解

x???x?sint?cos2t

解：线性方程x???x?0的特征方程?2?1?0故特征根???i

f1(t)?sint ??i是特征单根，原方程有特解x?t(Acost?Bsint)代入原方

程A=-

12 B=0

f2(t)??cos2t ??2i不是特征根，原方程有特解x?Acos2t?Bsin2t代入

原方程A?13 B=0

所以原方程的解为x?c1cost?c2sint?

12tcost?13cos2t

?217.若A????1expAt

解：p(?)?1?????试求方程组x??Ax的解?(t),?(0)4??1??1???并求??2???21??42???6??9?0解得?1,2?3此时 k=1n1?2

?1ti????1?3ti?1?3t?????v ?(t)?e??(A?3E)????e??2??i?0i!???2???1?t(??1??2)??? ??2?t(??1??2)?

由公式expAt= e?tn?1i?i!i?0ti(A??E)得

expAt?e

3t?E?t(A?3E)??e3t??1????00???11??3t?t?e????1???11???1?t???tt?? 1?t?18.求下列方程的通解

(dydx)?4xy33dydx?8y?0

2?dy?232???8yp?8ydydx??解：方程可化为x?令（*） ?p则有x?dy4ypdx4ydx（*）两边对y求导：2y(p?4y)32dpdy?p(8y?p)?4yp

1232即(p?4y)(2y32dpdy?p)?0由2ydpdy?p?0得p?cy即y?(2pc)将y代入

22?c2p?22?x?c2p?4c p为参数又由（*）x??2即方程的 含参数形式的通解为：?4c?y?(p)2?c?1p?4y?0得p?(4

19.求方程

322y)3代入（*）得：y?427x也是方程的解

3dydx?x?y经过（0，0）的第三次近似解

2

?0?y0?0?1?y0?解：

?0xxdx?xxx22244?2?y0??3?y0? 20.求

?0(x??0(x?dydtxx)dx??x10x22??x7x5

20)dx?x24400202?x520?x114400?x8160dxdt??x?y?1,?x?y?5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性

?dx??x?y???x?y?1?0?dt解：由?解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则?

?x?y?5?0?dy?x?y??dt因为

?11?1?1=1+1 ?0故有唯一零解（0，0）

由

??1?1

1??1???2??1?1???2??2?0得???1?i故（3，-2）为稳

22定焦点。

21.证明题： n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解

证明：由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：

x1(t0)?1,x2(t0)?0,??,xn(t0)?0x1(t0)?0,x2(t0)?1,??,xn(t0)?0???????????????x1n?1n?1n?1''

(t0)?0,x2(t0)?0,?,xn(t0)?1101?0????00?1?1?0

考虑w[x1(t0),x2(t0),?,xn(t0)]?0?0从而xi(t)(i?1,2,?n)是线性无关的。

22.求解方程：

dydx=

x?y?1x?y?322

解： (x-y+1)dx-(x+y+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-ydy-3dy=0

1221 即2dx-d(xy)+dx-31x?xy?x?2dy3-3dy=0

y?3y?C313 所以2

23.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 dy??2(x?y)?1(x?y)?2，令z=x+y

解：dxdz则dxdzdx?1?dydx

?z?1?z?2,?z?2z?1dz?dx?1?2z?1z?2

3所以 –z+3ln|z+1|=x+C1， ln|z?1|=x+z+C1 . 即

(x?y?1)?Ce32x?y

24.讨论方程

dydx?321y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，

0）的一切解

31?f3解： 设f(x,y)= 2y,则?y?12y?23(y?0)

?f 故在y?0的任何区域上?y存在且连续，

因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

显然，y?0是通过点（0，0）的一个解；

dy?313 又由dx322y解得，|y|=(x?c)

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