几种常用数值积分方法的比较(5)

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对任意求积区间?a,b?作变换

x?b?aa?bt?t 22 可以变换到区间??1,1?上，这时

?baf(x)dx??f(b?aa?bb?aa?bt?)d(t?)a2222b?a1b?aa?b ?f(t?)dt2??122bb?a1?af(t)dt?2??1?(t)dtb其中?(t)?f(b?aa?bt?t)。 22 高斯-勒让德求积公式在这里简称高斯公式，它是在区间??1,1?上进行讨论的。

4 几类数值积分方法的简单比较评述

由于我们在计算实际问题是往往要考虑到代数精度和计算量，所以不同类

型的求积公式有着不同的特点：

Simpson积分方法和梯形积分方法虽然计算简便，但是精度比较差，不理想。但对于光滑性较差的被积函数有时会比高精度的积分方法更为有效。特别是梯形积分方法对被积函数是周期函数的求积效果更为突出。n>7时，Newton—Cotes公式是不稳定的，然而复化梯形公式和复化Simpson公式不仅保留了低阶公式的优点还能够获得比较较高的精度，所以在实际计算中应用得最为广泛。

Romberg积分方法的算法简单，方便编程的实现。收敛速度快、计算精度较高，但是计算量较大。

Gauss积分方法的精度较高，数值稳定、收敛速度较快，但因为其节点不规则，计算比较麻烦。

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5 利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比较

在简单的认识积分方法比且理论比较之后，则要进行数学实验进行验证，

因此就要通过matlab软件对各种积分方法进行编程并运算，然后对其各种方法的运算结果进行分析比较，掌握和理解各方法的优缺点。 规定各个程序都以I??0

I??sinxdx?0.946083070367183 0x11sinxdx为例子进行运算。原积分的精确值为 x

例 分别用不同的方法计算积分I??sinxdx，并作比较。 0x1 用以上介绍的几类积分方法分别计算积分，得出误差，并进行比较： 1、用Newton-Cotes公式

当n=1时，即用梯形公式，用程序一 （程序见附录） 在MATLAB命令窗口中输入>> NCotes(0,1,1,2) 得

I?0.92703549240395

R?0.01904757796323

当n=2时, 即用Simpson公式,用程序一 （程序见附录） 在MATLAB命令窗口中输入>> NCotes(0,1,2,2)得

I?0.94614588227359 R?0.000062811906407

当n=4时, 即用科特斯公式，用程序一 （程序见附录） 在MATLAB命令窗口中输入>> NCotes(0,1,4,2)得

I?0.94608300406367 R?0.000000066303513

2、用复化梯形公式

令h=1/8=0.125，用程序二 （程序见附录） 在MATLAB命令窗口中输入>> trapr1('f',0,1,8),得

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sinxhdx??f(0)?2?f(h)??0x21?f(7h)??f(1)?=0.9456908635270

R?0.000392206840182

3、用复化 Simpson 公式

令h=1/8=0.125，用程序三 （程序见附录） 在MATLAB命令窗口中输入>> simpr1('f',0,1,8),得

?1sinx0xdx?h3?f(0)?4?f(h)??f(7h)??2?f(2h)??f(6h)??f(1)?=0.94608308538495 R?0.000000015017767

4、用Romberg公式

用程序四 （程序见附录） 在MATLAB命令窗口中输入>> romber('f',0,1,5,0.5*(10^(-8)))，得?1sinx0xdx?0.94608307036718 R?0.000000000000002

5、用高斯-勒让德求积公式 令x?(t?1)/2，I??1sin(t?1)/2?1t?1dt

（1） 用2个节点的Gauss公式

I?0.94604115827633

（2） 用3个节点的Gauss公式，用程序五 （程序见附录） 在MATLAB命令窗口中输入>> GuassLegendre (0,1,2,2)，得

I?0.946083134078473 R?0.000000063711290

算法比较:

1.原积分的精确值为：

I??1sinx0xdx?0.946083070367183 2.由例题的各种求积算法可知：

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（1）对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=4时有7位有效数字。

（4）用复化梯形公式有2位有效数字，对复化Simpson公式有7位有效数字。 （5）用复化梯形公式，对积分区间[0,1]二分11次用了2049个函数值，才可以得7位有效数字。

（6）用Romberg公式对区间[0,1]二分3次用了9个函数值，就可以得到7位有效数字；二分4次用了14个函数值，却可以得到14位有效数字。 （7）用高斯-勒让德求积公式仅仅用了3个函数值，就能得到比较精确的6位有效数字。

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结束语

本文主要研究了常用的几类数值积分的求积算法并通过例题计算积分进行分析比较。

Newton-Cotes积分方法是一种非常普遍的积分方法，然而梯形积分方法的误差最大，近似效果最差，Simpson积分方法的精度比梯形积分方法高了一个数量级；Cotes积分方法精度比Simpson积分方法高两个数量级。则Cotes代数精度比较高。由此可知一般情况下，积分公式代数精度越高，计算精度也越高。但是高阶的Cotes积分方法收敛性没有保证，因此实际应用中很少用。

复化梯形积分方法比梯形积分方法精度高，同样的，复化Simpson积分方法比Simpson积分方法精度高，高了差不多7个数量级，所以复化积分方法比较优越。

Romberg积分方法收敛速度快、计算精度较高，但是计算量较大。 Gauss积分方法精度高、数值稳定、收敛速度较快，但是计算麻烦。 经研究可以知道Newton-Cotes方法的代数精度越高，数值积分的效果越好、越精确。当积分区间比较大的时候，积分数值不稳定，这个时候可以利用复化积分方法效果会更好；Romberg积分方法可以利用变步长复化积分公式得到更为精确的数值结果，是比较好的积分方法。高斯求积方法精确度高，收敛性快，比其他积分方法优越。具有很广泛的运用。

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