几种常用数值积分方法的比较(4)

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求原函数的公式?af(x)dx?F(b)?F(a)得到积分；有些被积函数f(x)不是明显知道的，例如由数值表给出它的离散值，或者是它被定义为某个微分方程的解，而这个微分方程是不能显示解出的。这说明，按?af(x)dx?F(b)?F(a)公式计算定积分是有很大局限性的。

因而常常采用在电子计算机上很有效的数值积分方法。 我们从定积分的定义

bb?baf(x)dx?(b?a)?C(n,k)f(xk)

k?0bnnf(k?)?xk式的几何意义，??af(x)dx?lim出发。推导出两个简单的数值积分公式。n??k?1就是把整块曲线梯形的面积积分成若干个小曲边梯形面积的和，当无限细分时这个和取极限就是真正曲边梯形面积。去掉取极限这一步，用有限个小曲边梯形面积的和，代替整块的曲边梯形面积，从而求得一个近似值，这就是数值积分的基本思想。根据小区间的不同分割方法和各分点f(ζ)值的不同选择，就得到不同的数值积分公式。

数值求积公式是取?a,b?上若干个点xk处的高度f(xk)，通过加权Ak后，再求和

?Af(x)

kkk?0n从而得到积分的近似值。数值求积公式写成一般形式

?baf(x)dx??Akf(xk)

k?0n式中xk称求积节点，Ak称求积系数，也称伴随节点xk的权。当积分区间?a,b?确定后，求积系数Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖被积函数f(x)的具体形式。记

R?f???f(x)dx??Akf(xk)

ak?0bn

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把R?f?称为求积公式的截断误差或余项。

数值求积方法的特点是直接利用积分区间?a,b?上一些离散节点的函数值进行线性组合来近似计算定积分的值，从而将定积分的计算归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难，并为计算机求积分提供了可行性。 3 几类常用数值积分方法的简单分析 3.1 Newton—Cotes求积公式

常用的梯形公式和Simpson公式是低阶的牛顿-柯特斯公式，牛顿-柯特斯

公式是积分区间上等距节点的插值求积公式。插值求积公式在积分区间上，所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式，即

?baf(x)dx?(b?a)?C(n,k)f(xk)

k?0n其中C(n,k)为Cotes求积公式的系数，是n和k的函数。 当n=1时，为梯形公式：

?baf(x)dx?(b?a)[f(a)?f(b)] 2梯形公式的代数精度为1，有两个积分节点。 当n=2时，为Simpson公式：

?baf(x)dx?(b?a)a?b[f(a)?4f()?f(b)] 62Simpson公式的代数精度为3，有三个积分节点。

由于只增加一个节点，其代数精度增加2，由此可知，Simpson公式比梯形公式代数精度高。

当n=4时，Newton—Cotes求积公式为Cotes公式：

?

baf(x)dx?(b?a)3a?ba?ba?3b[7f(a)?32f()?12f()?32f()?7f(b)] 904245

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Newton-Cotes公式的代数精度为5，有5个积分节点。

所以对于Newton-Cotes积分公式，n为偶数时的代数精度要比n为奇数时的积分公式效果比较优越。但并不是n的值越大越好，当n过大时（n=8），求积公式的数值稳定性不好。 3.2 复化求积公式

由于Newton-Cotes的节点n越大对应的精度就越高，但是n=8时公式的数值是不稳定的，因此就不能用增加求积节点的方法来提高精度，因此，我们常常将求积区间[a,b]分成若干小区间，然后在每个小区间上采用数值稳定的Cotes公式求小区间上的积分，然后把每个小区间上的结果加起来作为原定积分的近视值，这种方法构造的求积公式就叫做复化求积公式。 常用的复化求积公式有： 复化梯形公式：

n?1b?a11Tn?[f(x0)??f(xi)?f(xn)]

n22i?1变步长梯形公式为：

2n?1T?Mnb?a11 T2n?[f(x0)??f(xi)?f(x2n)]?n2n222i?1b?anMn??f(x2j?1) 2nj?1复化Simpson公式：

Ik?b?a[f(x2(k?1))?4f(x2k?1)?f(x2k)] 2n变步长复化Simpson公式：

S2nnn?1b?a??Ik?[f(x0)?f(x2n)?4?f(x2k?1)?2?f(x2k)]

6nk?1k?1k?1n

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3.3 Romberg求积公式

Romberg积分方法也叫做逐次分半加速法，它是在复化梯形公式误差估计的基础上，应用线性外推的方法构造出的一种加速算法。

将积分区间分成n等分和2n等分时，求得积分近似值Tn和T2n，并没有误差估计式

1311积分近似值T2n的误差大致等于(T2n?Tn)，当用(T2n?Tn)对T2n进行修正时，

3311(T2n?Tn)与T2n之和比T2n更接近于真值I,故(T2n?Tn)是对T2n误差的一种补偿，33 I?T2n?(T2n?Tn)

因此可以期望下式是一个更好的结果，即

Tn2?Tn T?T2n?(T2n?Tn)?313431 下面说明T即是分成n等分时Simpson公式的值Sn。将复化梯形公式

n?1h??Tn??f(a)?2?f(xk)?f(b)?

2?k?1?梯形变步长求积公式

1hn?1T2n?Tn??f(x1)

k?22k?02代入上式T表达式得

n?1n?1?h?T??f(a)?4?f(x1)?2?f(xk)?f(b)??Sn

k?6?k?0k?02?这就是说，用梯形法二分前后两个梯形值Tn和T2n作线性外推，结果得到Simpson法的积分值Sn。将误差由o(h2)变为o(h4)，从而提高了逼近精度。 再考察Simpson法。其截断误差与h4成正比，因此，若将步长折半，则误差减至

1，即有 16I?S2n1? I?Sn16

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由此得 I?161S2n?Sn 1515不难验证，上式右端的值其实等于Cn，就是说，用Simpson法二分前后的两个积分值Sn与S2n,按上式再作线性外推，结果得到柯特斯法的积分值Cn，即有

Cn?161S2n?Sn 1515这时将误差由o(h4)变为o(h6)，逼近精度又一次得以提高。

同样的方法，依据柯特斯法的误差公式，可进一步导出下列龙贝格公式 Rn?641C2n?Cn 6363 Rn逼近积分值的误差为o(h8)，这样Romberg公式将误差由o(h6)变为o(h8)，逼近精度再次得以提高。Romberg公式有7次代数精度，这表明该公式不是牛顿-柯特斯公式。

在步长二分的过程中运用Sn、Cn、Rn表达式加工三次，就能将粗糙的积分值Tn逐步加工成精度较高的Romberg值Rn，或者说，将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的Romberg值序列Rn，这种加速方法称Romberg算法。 3.4 高斯型求积公式

前面介绍的n?1个节点的 Newton -Cotes求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。n是偶数时，代数精度为n?1，n是奇数时，代数精度为n；我们知道n?1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n。能不能在区间

?a,b?上适当选择个节点x0,x1,x2xn 使插值求积公式的代数精度高于n呢？

答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n?1，这就是所学的高斯型求积公式。

不失一般性，将求积公式?af(x)dx??Akf(xk)的求积区间?a,b?转换成??1,1?k?0bn的形式。

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