不等式证明(8)

例1设函数f?x?为?0,1?上的单调减少且大于0的连续函数，

xf?x?dx?f?x?dx??求证： ?xf?x?dx?f?x?dx2200110011证明：令I? =

?101xf?x?dx?f2?x?dx??xf2?x?dx?f?x?dx

00010111?xf?x?dx?0f2?y?dy??0xf?x?dx?0f?y?dy

211=

同理I=2I=

11??xf?y?f?x??f?y??f?x??dxdy

0011??1100yf?x?f?y??f?x??f?y??dxdy两边相加整理得

??f?y?f?x??x?y??f?y??f?x??dxdy，

00?f?x??0且在?0,1?上单调减少， ??x?y??f?y??f?x???0

?I?0命题得证。

总结：当题设条件中告知被积函数减少或增加时，并没有指明是否可导，且积分区间相同时，将命题化为差式利用变量的对称式化为二重积分来进行证明。 例1：设函数f?x?为?0,1?上连续

?10f?x?dx?0，?xf?x?dx?1

01求证：存在一点x当0?x?1时，使f?x??4 证明：反证法：若0?x?1时，f?x??4则

111?11?1???x??f?x?dx??x?f?x?dx?4?x?dx?1

0002?22?1因此f?x??4，x??0,1?,?f?x?是连续的，必有f?x??4或f?x???4 这与

?f?x?dx?0相矛盾，

01?存在一点x当0?x?1时，使f?x??4。

1.6利用线性变换证明积分不等式

1bf?x?dx，那么对均值作线性变换。 如果问题涉及到函数f?x?在?a,b?上的均值?ab?a 36

1x?a1bf?x?dx??f?a??b?a?t?dt目的是将定义在不同区间上的两个定即令t?有

0b?ab?a?a积分都化为区间上的定积分，统一区间后的两个定积分，就易于比较了。 例1：设f?x?为?a,b?上单调增加的可积函数，g?x???f?t?dt,a?x?b则

axg?x??x?ag?b?,a?x?b b?a证明：当x?a时结论成立，只需证

1x1b??ftdt?f?t?dt,a?x?b， ??aax?ab?a经线性变换后，即证

?10f?a??x?a?u?du??f?a??b?a?u?du，

01由于f?x?在?a,b?上单调增加，利用定积分的单调性知结论成立。 1.8.作辅助函数利用函数单调性证明积分不等式

把不等式中所有积分上限或下限相同的字母也改为x，移项使不等式的一端为0，则令另一端的式子为??x?，则问题转化为??x??0，则用单调性来证明不等式即可，值得说的是，题设中若仅知被积函数在某区间上连续时，一般都用此法。 例1：设f?x?在?0,1?上连续且单调减少，证明0???1时,证明：设??????f?x?dx???f?x?dx

00?1??01?f?x?dx??f?x?dx

01?'?????f?????f?x?dx?02????f????f????,???0,?? 2? ?f?x?单调减少，?f????f???，

??,????0,由????单调减少????????1??0

????????01?f?x?dx??f?x?dx?0

01?0???1时,?f?x?dx???f?x?dx。

00?1（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单

的不等式也是有用的：

（i）若f(x)?g(x) (x?[a,b])，则（ii）|

?baf(x)dx??g(x)dx .

ab?baf(x)dx|??|f(x)|dx.

ab37

（iii）若f(x)?0 (x?[a,b]),a?c?d?b,则(iv)(柯西不等式)[?dcbf(x)dx??f(x)dx.

ab?baf(x)g(x)dx]??f(x)dx?g2(x)dx

aa2b2(2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法.

(3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法． 例１．判断积分

?2?0sinx2dx的符号

分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数sinx在积分区间上有正、有负，先作换元：t?x，把积分变为

22?2?0sinx2dx?12?sintdt后，问题更清晰，因而想到 ?02t?2?012?sint1?sintsinxdx??dt?(?dx?0202tt2??2?sinttdt)

至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积

分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了． 解：令t?x，则

2?2?0sinx2dx?12?sint1?sintdt?(?dx?＝?0022tt??2?sinttdt)

?对上式右端后一积分换元t?u??得

??2?sinttdt????sinuu??0du???sintt??0dt

从而

?2?01?sintdx?sinxdx??(?20t2??sintt??0dt)

?1?11(?)sintdt?0 ?02tt?? 注：本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用（１）将积分区间分成部分区间（尤

其是等分区间，特别是二等分）（２）如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较． 例２．设a?0，证明：

???0xasinxdx?2a0?sinxdx??34

分析:： 从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介

38

绍的一个等式论。 解：

???0xf(sinx)dx???2f(sinx)dx变为[0,]上的积分，再用柯西不等式便可得结

02????0xasinxdx???2asinxdx

0?????sinx0xasinxdx?2a0dx???2(a0sinx2?)dx?2(a0?sinx2?)dx??(?21dx)?022?34

例３．设f(x)在[a,b]上有一阶连续导数，且f(a)?0，证明：

b（１）|?baa(b?a)2f(x)dx|?max|f?(x)|

x?[a,b]22（２）

?(b?a)2f(x)dx?2?[f?(x)]ab2dx

分析：（１）该不等式实际上给出了左边积分的一个界。若令M?max|f?(x)|，则有

x?[a,b]|f?(x)|?M，即给出了导数的界，再加条件f(a)?0，可估计出|f(x)|?M(x?a),x?[a,b]，

进而估计出积分的界。（２）不等式两边分别有f(x)和f?(x)，而等式f(x)??xx0f?(x)dx?f(x0)可将两者联系起来，这里x0要根据具体问题具体选择，本题中容易想到x0?a 证明：（１）令M?max|f?(x)|，由拉氏中值定理知

x?[a,b] f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a)

从而 |f(x)|?|f?(?)(x?a)|?M(x?a),x?[a,b]

b所以 |?a(b?a)2f(x)dx|??|f(x)|dx??M(x?a)dx?M

aa2bb （２）f(x)??xaxaf?(t)dt?f(a)??f?(t)dt，则

axxbaaaxf2(x)?[?f?(t)dt]2??1dt?[f?(t)]2dt?(x?a)?[f?(t)]2dt

故

?ba(b?a)2f(x)dx??[f?(t)]dt?(x?a)dx?aa22b2b?ba[f?(x)]2dx

a?b)?0,右端改2注：（１）中，若将条件f(a)?0改为(i)f(b)?0，结论仍成立，(ii) f( 39

(b?a)2(b?a)2max|f?(x)|,(iii) f(a)?0且f(b)?0,右端改为max|f?(x)|, 为

x?[a,b]x?[a,b]44另外本题也可利用等式f(x)??xaf?(t)dt?f(a)??f?(t)dt去证:

abbbatax?baf(x)dx??(?f?(t)dt)dx??(?f?(t)dx)dt??(b?t)f?(t)dt

aabx所以 |?ba(b?a)2f(x)dx|??|f(x)|dx??|(b?t)f?(t)|dt?M?(b?t)dt?M

aaa2bbb(2)中右边作为左边积分的一个界有点粗(证明过程中能感觉到这一点),我们可以更精细一点：

??ba(b?a)2f(x)dx?22?ba[f?(x)]2dx?1b22?[f(x)](x?a)dx ?a2不做(2)的证明过程中的第二步放大,便可证出上面结论：

ba(x?a)2f(x)dx??{(x?a)?[f?(t)]dt}dx??(?[f?(t)]dt)d,再分部即可．

aaaa22bx2bx2x?[a,b]例４．设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数，M?max|f??(x)|，证明：

|?f(x)dx?(b?a)f(aba?bM)|?(b?a)3 224方法一：利用上一节中的例10中的（2），或练习题21可证出结论。

方法二：由泰勒公式有

a?ba?ba?b1a?b2)?f?()(x?)?f??(?)(x?) 22222ba?b)dx?0得 两边在[a,b]上积分并注意到?(x?a2ba?b1ba?b2??f(x)dx?(b?a)f()?f(?)(x?)dx，从而得 ?a?a222f(x)?f(|?baa?b1ba?b2Mf(x)dx?(b?a)f()|?|?f??(?)(x?)dx|?22a22a?b2M(b?a)3?a(x?2)dx?24b方法三：令F(x)??xaf(t)dt，则F?(x)?f(x),F??(x)?f?(x),F???(x)?f??(x)，且

?baf(t)dt?F(b)?F(a)，由泰勒公式有：

a?ba?bb?a1a?bb?a2F???(?1)b?a3)?F?()?F??()()?() （1） 22222262a?ba?ba?b1a?ba?b2F???(?2)a?b3)?F?()?F??()()?() （2） 22222262F(b)?F(F(a)?F(（1）—（2）得

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