不等式证明(6)

[?'(x)?xf(x)?f(t)dt?f(x)?tf(t)dt00xx(?f(t)dt)0x2?f(x)?(x?t)f(t)dt(?f(t)dt)00x2x?0

34. 设f(x)连续, 且f(x)?0,f(?x)?f(x), 令F(x)??a?ax?tf(t)dt(?a?x?a),

(1)证明:F'(x)递增; (2)求F(x)的最小值; (3)若F(x)的最小值为:f(a)?a2?1,求f(x) [(1)F'?2 (3)235. 证明不等式: (1)

x?x0f(t)dt,F\?2f?0;(2)Fmin(0)?2?tf(t)dt;

0a?f'(x)?2x(1?f(x))2x2, tf(t)dt?f(x)?x?1?f(x)?2e?1] ??0f(0)?1?1111111?ln(1?)?; [ln(1?)?ln1??,(0???)] n?1nnn1??nn1n1n?1 (2)e?e11e111nn?1?2,(n?1); [e?e?e?,(???)] nn(n?1)n?1n1n (3)xlnx?x?1,(x?0). [f?xlnx?x?1,f'?lnx?0,x?1,f\?0,f?f(1)?0] (4)(?)ln(1?x)?1,(x?0)

1x122xx2 [f?ln(1?x)?,f'??0,f?f(0)?0]

2?x(1?x)(2?x) (5)sinx?tanx?2x,(0?x??2).

2 [f?sinx?tanx?2x,f'?cosx?secx?2?0!,f?f(0)?0] (6)1?x?2,(0?x?1).

[f?2?1?x,f\?2(ln2)?2?0,f(0)?f(1)?0?f(x)?0] 36. 证明: 当x?(0,1)时,

x2x22xx(1?x?1)2?ln(1?x),F'(x)? (1)(1?x)ln(1?x)?x. [F(x)??0] 1?x2(1?x)1?x22111111(1?x)ln2(1?x)?x2?1???. [G??,G'?2 (2)?0] ln2ln(1?x)x2ln(1?x)xx(1?x)ln2(1?x)37. f(x)在[0,??)上可导, 且f(0)?0,f(x)?f'(x), 证明: f(x)?0.

26

[(e?xf(x))'?e?x(f'(x)?f(x))?0?e?xf(x)?e?0f(0)?0] 38. 设f在[0,1]上连续, (0,1)内可导, f(0)?0,0?f'(x)?1, 证明: ( [f?0,F?(?10f(x)dx)2??f3(x)dx

0x01?x0f(t)dt)2??f3(t)dt,F'?2f(x)?f(t)dt?f3(x)?0!,F(1)?F(0)]

0e?xx39. 确定函数f(x)?xee?x(0?x???)的单调区间,并证明:?x?(0,??),有xe?1.

[f?xee?x,f'?xe?1e?x(e?x),f(x)?fmin(e)?1] 40. 设b?a?0, 证明: (1)

lnb?lna2alnb?lna112a?2???; [] 222b?aa?bb?a?ba?b (2)

2(b?a)b1?ln?

a?baabx?a(a?x)2[(1)f?lnx?lna?,f'???0,f(b)?f(a)?0

ax2xax2(x?a)(a?x)2(2)f?lnx?lna?,f'??0,f(b)?f(a)?0] 2a?xx(a?x)41. 证明: 当x?[0,1]时, [f'?0?x?12p?1?xp?(1?x)p?1(p?1).

111,fmax(0)?1,fmin()?p?1] 222x?042. 设 f(x) 在 (a,b)(ab?0) 内满足: f\x)?0, 且limf(x)?2e?1, 证明: 2ln(1?x)1f\?)x2?2] 2x2? f(x)?2,x(a,b. ) [f(0)?2,f'(0)?0,f(x)?2?例1设函数f?x?为?0,1?上的单调减少且大于0的连续函数，

xf?x?dx?f?x?dx??求证： ?xf?x?dx?f?x?dx2200110011证明：令I? =

?xf?x?dx?f?x?dx??xf?x?dx?f?x?dx

2200001111?xf?x?dx?0110f2?y?dy??0xf?x?dx?0f?y?dy

211 27

=

同理I=2I=

11??xf?y?f?x??f?y??f?x??dxdy

0011??1100yf?x?f?y??f?x??f?y??dxdy两边相加整理得

??f?y?f?x??x?y??f?y??f?x??dxdy，

00?f?x??0且在?0,1?上单调减少， ??x?y??f?y??f?x???0

?I?0命题得证。

总结：当题设条件中告知被积函数减少或增加时，并没有指明是否可导，且积分区间相同时，将命题化为差式利用变量的对称式化为二重积分来进行证明。 一．仅知被积函数连续的不等式

1. 设f(x)在?0,1?上连续且单调减少，证明：对于任意的???0,1?，都有

??0f(x)dx???f(x)dx。

01 2. 设f(x)在?a,b?上连续且单调减少，证明：22?baxf(x)dx?(a?b)?f(x)dx。

abbb2?? 3. 设f(x)在?a,b?上连续，证明??f(x)dx??(b?a)?f(x)dx。 a?a?四．具体函数的积分不等式

? 11. 证明 12. 证明

?202sinxcosxdx??01?x2dx。 1?x2??2?0nesixdx?5?。 2一．仅知被积函数连续的不等式

1. 设f(x)在?0,1?上连续且单调减少，证明：对于任意的???0,1?，都有

??0f(x)dx???f(x)dx。

011证法1 （换元法）令x??t，

??0f(x)dx???f(?t)dt???f(t)dt （ 因f单减， f(?t)?f(t) ）。

001?证法2 （单调性）设F(?)??0f(x)dx?，

28

F?(?)??f(?)??f(x)dx02??f(?)?f(?)??0???f(?)??f(?)?2 （ ???0,??,f单减）

???f(?)?f(x)dx??0??或F?(?)?2?????0(f(?)?f(x))dx?2???0?

??所以F(?)单减，F(?)?F(1)，即证法3 （利用定积分性质）

??0f(x)dx???f(x)dx。

01左?右??f(x)dx???f(x)dx??00?1?0?1?f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?????0??(1??)?f(x)dx???f(x)dx0?1?

?(1??)?f(?)?(1??)?f(?)?0?10???0,??,????,1?,f单减或左?右?(1??)?f(x)dx???f(x)dx?(1??)?f(?)?(1??)?f(?)?0?证法4 （函数最值）设F(x)?1?x0f(t)dt?x?f(t)dt,x??0,1?

01F?(x)?f(x)??f(t)dt?f(x)?f(?),0???0,1?

x?? 为函数的驻点，且x??时f(x)?f(?),F?(x)?0,F(x)单增，

x??时f(x)?f(?),F?(x)?0,F(x)单减。

所以F(?)为函数的最大值，而最小值在端点取得。又F(0)?F(1)?0，故F(x)?0。 (或者F?(x)?f(x)??f(t)dt为单调递减函数，F(x)为上凸函数，最小值在端点取得。)

01证法5（微分中值定理）设F(x)??x0f(t)dt,x??0,1?，则F(0)?0,F?(x)?f(x)

F(?)?F(0)?f(?),??0F(1)?F(?)?f(?),1??即

??(0,?)，因为f单减，所以f(?)?f(?)

??(?,1)F(?)??F(1)?F(?)，也就是F(?)??F(1)，得证。

1??2. 设f(x)在?a,b?上连续且单调减少，证明：2?baxf(x)dx?(a?b)?f(x)dx。

ab证明 作辅助函数F(x)?2tf(t)dt?(a?x)a?x?xaf(t)dt，F(a)?0。

29

xF?(x)?2xf(x)??(x?a)f(x)??f(t)dt?

??a???(x?a)f(x)??f(t)dt???f(x)?f(t)?dt?0（因f(x)单调减少）

aaxx 所以F(x)单调减少，故F(b)?F(a)?0，即不等式成立。

bb2??3. 设f(x)在?a,b?上连续，证明??f(x)dx??(b?a)?f(x)dx。 a?a?2xx2?f(t)dt?(x?a)f 证明 作辅助函数F(x)????a??a(t)dt，F(a)?0 ??2F?(x)?2f(x)?f(t)dt??f2(t)dt?(x?a)f2(x)

aaxx?2?f(x)f(t)dt??f(t)dt??f2(x)dt

aaaxx2x????f(x)?f(t)?dt?0，

2ax所以F(x)单调减少，故F(b)?F(a)?0，即不等式成立。 设f(x)在?a,b?上连续，且f(x)?0，证明四．具体函数的积分不等式

??baf(x)dx?ba1dx?(b?a)2。 f(x)11. 证明 ：

?202sinxcosxdx??01?x2dx。 1?x2??证明 法一 I???20sinx?cosxdx 21?x?sinx(?)42sint4?2dt ?2?（换元）dx??4?0?21?x21?(t?)4???4??11 ?2?sint???dt?0。 0???1?(?t)21?(?t)2?44????法二 I??402?sinx?cosxsinx?cosxx??t） （后一积分换元dx?dx?22?21?x1?x4? 30

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