（5）
12p?1?xp?(1?x)p?1，(p?1)；（利用函数的单调性）
a（6）a?b，(b?a?e)；（证明函数f(x)?ax?xa?0） 9．若f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)可导，则???(a,b)，使得
bf?(?)?2?[f(1)?f(0)]．
（提示：引入辅助函数F(x)?f?(x)?2x[f(1)?f(0)]，验证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件）
10．若f(x)在(0,1)上内取最大值，且对任意的x?(0,1)有f??(x)?1，试证：
f?(0)?f?(1)?M．
（提示：由于f(x)在(0,1)上内取最大值，于是???(0,1)，使得f?(?)?0，对函数
f?(x)分别在[0,?]和[?,1]应用拉格朗日定理）
11．若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，在???(0,1)，使得
f(b)?f(a)??f?(?)lnb． a（提示：对函数f(x)和lnx在[a,b]上应用柯西中值定理）
12．若f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)?f(b)?0，则至少
???(a,b)，使得
f?(?)?f(?)g?(?)?0．
（提示：引入辅助函数F(x)?f(x)eg(x)，验证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件）
13．若f(x)在[0,1]上可导，且f(1)?2?120e1?x2f(x)dx，则???(0,1)，使得
f?(?)?2?f(?)．
（提示：引入辅助函数F(x)?e1?xf(x)，找到两个点的函数值相等，应用罗尔定理）
4.2 积分中值定理与证明
一 基本结论 1．比较定理：
16
2（1）若f(x)?g(x)，则（2）若f(x)?0，则 （3）绝对值不等式：
?baf(x)dx??g(x)dx；
abab?baf(x)dx?0；若f(x)?0，则?f(x)dx?0．
ba?f(x)dx??f(x)dx；
abbbb22?? （4）柯西不等式： ?f(x)g(x)dx??f(x)dx?g(x)dx
??aa?a?22．估计定理： m?f(x)?M，则 m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a)；
3．积分中值定理：f?C[a,b]，则存在??[a,b]有题型1 定积分等式的证明 1 等式的证明 （1）换元积分：
例1 证明：f(x)是以T为周期的连续函数，则证明 由于
?baf(x)dx?f(?)(b?a)；
?a?Taf(x)dx??f(x)dx．
0a?TT?又由于
a?Taf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??a00TTf(x)dx，
?所以
a?TTf(x)dx??f(x?T)dx，
0a?（2）分部积分：
a?Taf(x)dx??f(x)dx．
0T 例2 设f(x)在[a,b]上具有二阶导数，且f(a)?f(b)?0，证明：
?证明 由于
baf(x)dx?1b(x?a)(x?b)f??(x)dx． 2?ab?所以
ba?(x?a)(x?b)f??(x)dx?(x?a)(x?b)f?(x)ba??(2x?a?b)f(x)dx
aba ?(2x?a?b)f(x)?2?f(x)dx?2?f(x)dx．
aabb?ba1bf(x)dx??(x?a)(x?b)f??(x)dx．
2ax0例3 设f?(x)是连续函数，F(x)??f(t)f?(2a?t)dt，证明
17
F(2a)?2F(a)?f2(a)?f(0)f(2a)
证明 由于
2aaF(2a)?2F(a)?? ?而
02af(t)f?(2a?t)dt?2?f(t)f?(2a?t)dt
0?af(t)f?(2a?t)dt??f(t)f?(2a?t)dt．
0a?2aaf(t)f?(2a?t)dt?f2(a)?f(0)f(2a)??2aaf?(t)f(2a?t)dt；
?所以
2aaf?(t)f(2a?t)dt??f(t)f?(2a?t)dt．
0aF(2a)?2F(a)?f2(a)?f(0)f(2a)．
2 定积分存在性的证明
例4 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明：至少存在一点??(a,b)，使得
f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx．
?ab?证明 令F(x)??xaf(t)dt?g(t)dt，则F(a)?F(b)?0，于是F(x)在[a,b]上满足
xb罗尔定理条件，存在??(a,b)，使得F?(?)?0．由于
F?(x)?f(x)?g(t)dt?g(x)?f(t)dt，
xabx于是
F?(?)?f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?0，
?ab?所以有
f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx．
?ab?例5 设f(x)在[0,1]上连续，且
?10xf(x)dx??f(x)dx，证明：???(0,1)，使得
01?证明 令F(x)??0f(x)dx?0．
?x0(x?t)f(t)dt，F(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，则???(0,1)，
使得F?(?)?0．由于
F?(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dt，
00xx于是有
18
?3 定积分不等式的证明
?0f(x)dx?0．
常用定理：比较定理；估计定理；单调性；微积分中值定理；（泰勒公式）． 常用不等式：绝对值不等式
?baf(x)dx??f(x)dx；
abbbb22?? 柯西不等式 ?f(x)g(x)dx??f(x)dx?g(x)dx．
??aa?a?2方法1 引入变限积分辅助函数
bb2例6 设f(x)在[a,b]连续，试证：??f(x)dx??(b?a)?f(x)dx．
??a?a?2证明 令F(x)???xaf(t)dtx?2?(x?a)?f2(t)dt，则
axF?(x)?2f(x) ???af(t)dt??f2(t)dt?(x?a)f2(x)
a?x?xa2f(t)f(x)dt??f(t)dt??f2(x)dt
aax2ax2x ???[f(x)?f(t)]dt?0．
所以F(x)是递减的，又因为F(a)?0，所以F(b)?F(a)?0，所以有
??证明 令F(x)?(a?x)xbaf(x)dx??(b?a)?2baf2(x)dx．
bb例7 设f(x)在[a,b]连续，且严格单调增的，证明：(a?b)?f(x)dx?2?xf(x)dx．
aa?xaf(t)dt?2?tf(t)dt，则
axF?(x)??f(t)dt?(a?x)f(x)?2xf(x)
a ??xaf(t)dt?(a?x)f(x)??f(t)dt??f(x)dt??[f(t)?f(x)]dt?0．
aaaxxx（因为t?x，且f(x)严格单调增，即f(t)?f(x)）所以F(x)严格递减，又因为F(a)?0， 所以F(b)?F(a)?0，即
??
baf(x)dx??(b?a)?2baf2(x)dx．
19
方法2 端点值为0的“L-N”方法：
基本原理：拉格朗日中值定理：f(x)?f(a)?(x?a)f?(?),??(a,x)； 牛顿莱布尼兹公式：
?xaf?(t)dt?f(x)?f(a)．
于是，当端点函数值f(a)?0时，则有
f(x)?(x?a)f?(?),??(a,x) 和
?xaf?(t)d?tf(．x)
例8 设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?M，f(a)?0，证明：
?baf(x)dx?M(b?a)2 2证明 对任意x?[a,b]，有f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a)，根据f?(x)?M得到
f(x)?M(x?a)，
所以
?1(b?a)2baf(x)dx?M(b?a)2． 2例9设f(x)在[a,b]上不恒为0，且f?(x)连续，f(a)?f(b)?0，证明：存在一个
??[a,b]使 f(??)??baf(x)dx．
证明 因为f(x)在[a,b]上不恒为0，且f?(x)连续，所以存在??[a,b]有 f?(?)?maxf?(x)?M．
x?[a,b]因为
f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a)，f(x)?f(x)?f(b)?f?(?)(x?b)，
所以
f(x)?M(x?a)，f(x)?M(b?x)，
因此
?baf(x)dx??b?a2af(x)dx??b?a2b(b?a)2f(x)dx?M．
4应用积分中值定理，有
?baf(x)dx?f?(?)?M，存在一个??[a,b]，使
f(??)?1(b?a)2?baf(x)dx．
1．设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且单调不增的，证明：对任意的??(0,1)有
20
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库不等式证明(4)在线全文阅读。
相关推荐：