???404sinx?cosxcosx?sinxdx??0?2dx 1?x21?(?x)2?11??(sinx?cosx)(?)dx?0。 20?1?x1?(?x)224?法三 注意sinx?cosx在?0,为正）可用积分中值定理
????????,?,?上都不变号（前一区间上为负，后一区间上??4??42?I??402sinx?cosxsinx?cosxdx?dx ?22?1?x1?x4?1?1??2这里0????14(sinx?cosx)dx??01??24???????(sinx?cosx)dx
24??2，而后一积分换元x??40?2?t
??(sinx?cosx)dx???24(sint?cost)dt?0，
?11所以 I?(?)4(sinx?cosx)dx?0。 22?1??1??0?2sinxcosnx（用后二证法即可） dx??dx。
01?x21?x2注此题变化为：（1）证明 ：
?2n?0??（2）若f(x)为单调减少的连续函数，证明： 12. 证明 ：
?20f(x)sinxdx??f(x)cosnxdx
0n2?2?0esinxdx?5?。 2t2t3e?4t2t3t?1?t??， 证明 因为 e?1?t???262426tet?e?tt2?1?。 所以
22又sinx以2?为周期，所以
2??
0???5esinxdx??esinxdx??(esinx?e?sinx)dx??(2?sin2x)dx??。
??00431
t2t3e?4t2t3t?1?t??， 另法 因为 e?1?t???262426t1213(1?sinx?sinx?sinx)dx ?0026?11??(1?sinx?sin2x?sin3x)dx ??26?5??(2?sin2x)dx??。 042?esinxdx??2? 1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：
11xn?14dx?, n?Z?. 例1、 证明不等式 ? ?20x?x?1n3n证： 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 二、 面积函数的导数 :
例6、 求
3 ? x2?x?1 ? 1 , ? …… 4dbdx22sinxdxsintdt. 和 ??aadxdx?10dx2t2??sintdt. 例7、 求??earctgtdt?和 ?0x??dxddx例8、 求 , t?1 . ?dtt2lnxx23t例9、 设 x?0时函数f(x)连续且
x3?1?0f(t)dt?x3. 求f(x). (f(x)=
3x ) 2例10、 设函数f(x)连续且
?f(t)dt?x?c. 求c和f(7) .
0解： 令x?1 , ? c??1 . 两端求导, ? f(7)= 例11、 设f(x)?C[a,b]. F(x)= F??(x)=f(x).
证： F(x)=xx1. 12?xaf(t)(x?t)dt , x?[a,b]. 试证明 :
?xaf(t)dt??tf(t)dt, ?
axaxF?(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dt , ? F??(x)=f(x).
atf(t)dt? 例12、 设函数f(x)在区间[ 0 , ?? )上连续且f(x)>0. ?(x)? . ?f(t)dt0x0x 32
试证明: 函数?(x)在区间( 0 , ?? )内严格递增.
证： ??(x)=
x???0??xf(x)xf(t)dt?f(x)xtf(t)dt?, 而 2??0?0????f(t)dt??1xxxxxxf(x)?f(t)dt?f(x)?tf(t)dt?f(x)??xf(t)dt??tf(t)dt??f(x)?f(t)(x?t)dt.
??0000?0?f(x)>0 , 在(0,x)内 f(t)(x?t)?0，又f(t)(x?t)连续 ， ?
?x0f(t)(x?t)dt?0，? 在区间( 0 , ?? )内??(x)>0 . 因此?(x)在区间( 0 , ?? )内
严格递增.
三、含有变限积分的未定型极限:
例13、 求极限 limx?0x?cost2dtx?0x0. ( 2 )
sintdt四、 定积分的计算 :
2? 例 14、 计算积分
?01?cos2?d?.
1 例15、 计算积分f(x)=t|x?t|dt .
0?x1? ; ?02311x x?0时, f(x)=?t(t?x)dt?? ;
032解： x?1时, f(x)=
1t(x?t)dt?x3x1?? . 0?x?1时, f(x)=?t(x?t)dt??t(t?x)dt?0x233x1?1x x?0,?3?2, ??1xx3因此, f(x)???? , 0?x?1 ,
?323?x1 x?1 .?2?3 , ?
?例2：试证
?20cos?sint?dt??2sin?cost?dt
0?33
分析：此题主要可用定积分的性质处理 因为定积分的保不等号性；
若函数f?x?和g?x?在区间?a,b?上可积，且对?x??a,b?，有
f?x??g?x?，则?f?x?dx??g?x?dx
aabb由此只需证
cos?sint??sin?cost?
证明：由定积分的保不等号性，只需证cos?sint??sin?cost? 当t??0,??????????时，因，0?2sint??2?t?0,? ????2?2??2??4??2，即
所以sint?cost??2?sint?cost，且0?cost??2?sint
0?cost??2，sinx在?0,???????是增函数，所以sin??sint??sin?cost?, ?2??2?????时，结论成立。 ?2?即cos?sint??sin?cost?，因而t??0,1.2利用中值定理来证明积分不等式
'例1：设f?x?在?a,b?上连续，?a,b?内可导，f?x??M而f?a??0，
求证：M?2?a?b?2?f?x?dx
ab证明：由拉格朗日中值定理有：
f?x??f?x??f?a???x?a?f'???,a???b。
?f'?x??M，
?f?x??M?x?a?,
于是
?baf?x?dx?M??x?a?dx?abbM?b?a?2，而?af?x?dx?2?f?x?dx
ab故
?baf?x?dx?M?b?a?2，即M?222?a?b??f?x?dx。
ab例2；设f?x?在?a,b?有连续函数导数，且f?a??f?b??0，设
34
maxf'?x??M，试证：?f?x?dx?a?x?bbaM?b?a?2 4证明：对?a,x?在上使用拉格郎日定理，有
f?x??f?a??f'??1??x?a??f'??1??x?a?,a??1?x
所以f?x??f?x??f'??1??x?a??M?x?a?
对上式积分
?a?b2af?x?dx??a?b2aM?x?a?dx?M?b?a?2??? 8再对?x,b?在上施以拉格郎日定理，有
f?x??f?b??f'??2??x?b???f'??2??b?x?,x??2?b
所以f?x??f?x??f'??2??b?x??M?b?a? 对上式积分
?ba?b2f?x???a?bM?b?x?dx?2bM?b?a?2??? 8由??????得证。
总结：当已知f?x?在?a,b?上连续，?a,b?内可导。f?a??0时，使用拉格郎日定理。
f?x??f?x??f?a???x?a?f'???,a???x，再根据题意进行不等式缩放。
有时也使用积分中值定理，
?f?x?dx?f????b?a?,其中a???b
ab例1：设f'?x?在?a,b?上连续，试证：
b1bmaxf?x??f?x?dx??f'?x?dx
aa?x?bb?a?a证明：由积分中值定理有
1bf?x?dx?f???,a???b ?ab?a又f?x??f????f?x??f????故f?x??f即证。
1.4利用二重积分证明积分不等式
35
??xf'?x?dx??f'?x?dx
ab?????abb1bf?x?dx?f?x?dx??f'?x?dx ?ab?aa'
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