万学海文2010考研数学二（预测三）(4)

218?3a?16，解得 a??.

3??3?23??2当a??时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=?103?秩为2，故??43??2?1?1??3??对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.

考点11：十一 二次型的矩阵表示以及二次型的秩

【参考题目1】二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 【解析】因为f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2

?2x1?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3

1??21??于是二次型的矩阵为 A??12?1?,

?1?12????1?12??1?12?????由初等变换得 A??03?3???03?3? ,

?03?3??000?????从而 r(A)?2, 即二次型的秩为2.

【参考题目2】已知二次型f?4x1?(2?)x2?(2?)x3?(4?a)x2x3，则

（1）求该二次型的矩阵A和秩.（2）当该二次型f的秩为2时，求用正交变换x?Qy把二次型f化成的标准形。

2222a22a22?400???

【解析】（1）A等价于?011?，故当a?0时，A的秩为2；

?00a???

当a?0时，A的秩为3。

（2）当a?0时，A的秩为2，A的特征值为4，4，0， 其特征向量为 ?1?(0,11T11T2,),?2?(1,0,0)T,?3?(0,,?),则f?4y12?4y2 2222考点12： 二次型的标准形和规范形

222【参考题目】已知二次型f?x1,x2,x3??xTAx?x1?5x2?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3

的秩为2，且?2,1,2?是A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是

T16

?1a1??1b1??2??2?????????T【解析】 由A??a?5b?从?2,1,2?是A的特征向量，有?a?5b??1???1?1?

?1b1??1b1??2??2?????????即 2?a?2?2?1 2a?5?2b??1 2?b?2?2?1 解出得 a?b?2，?1?3

从R(A)?2，知A?0，于是?2?0是A的特征值。再由

?a???iii有

1?(?5)?1?3?0??3，知?3??6是A的特征值。

22因此，在正交变换下二次型的标准形是：3y1。 ?6y3希望通过我们总结的以上资料，帮助广大考生在最后的这段关键时间里，梳理好知识体系，准确把握考点，直击命题要害，做好最终的考前冲刺。

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