万学海文2010考研数学二（预测三）(3)

?C??2,?3,?4必相关； ?D??1,?2,?3必无关

【答案】?D?

【解析】若选项?C?正确，则选项?A?必正确，所以选项?C?是错误的；若选项?B?成立，则选项?D?也是正确的，从而排除了?B?。正确答案是在?A??D?中选择。?1,?2,?3的缩短组是线性无关的，所以?1,?2,?3必无关，从而选项?D?是正确的。

【参考题目2】A是m?n的矩阵，秩r?A??n，?1,?2,?,?s是n维列向量。证明：

?1,?2,?,?s线性无关的充要条件是A?1,A?2,?,A?s线性无关。

【证明】必要条件：设存在常数k1,k2,?,ks使得k1A?1?k2A?2???ksA?s?0

A?k1?1?k2?2???ks?s??0因为A是m?n的矩阵，秩r?A??n，所以k1?1?k?2??2?ks?s?0又因为?1,?2,?,?s线性无关，所以k1?0,k2?0,?,ks?0

即A?1,A?2,?,A?s线性无关。

充分性：设存在常数k1,k2,?,ks使得k1?1?k2?2???ks?s?0两边同时乘以矩阵A得到k1A?1?k2A?2???ksA?s?0因为A?1,A?2,?,A?s线性无关，所以

k1?0,k2?0,?,ks?0即?1,?2,?,?s线性无关

?x1?3x2?x3?2?【参考题目3】 设?1,?2,?3是线性方程组?2x1?x2?x3??1的解向量，试证：

?7x?2x??113??1??2,?1??3线性相关。

?1?31??x1??2???????【解析】记A?21?1,X?x2,b??1,则所给线性方程组为AX?b. ??????????70?2???x3????1??因为?1,?2,?3是AX?b的解，所以A?i?b?i?1,2,3?，从而A??1??2??0，

A??1??3??0即?1??2,?1??3都是齐次方程组AX?0的解向量。

由于A?0，又有一子式

1?3?7?0，故r?A??2，于是AX?0的基础解系只有

2111

一个解向量，因此?1??2,?1??3线性相关。 考点7： 向量组的线性组合与线性表示

【参考题目1】确定常数a,使向量组?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组但向量组?1,?2,?3不能由向量?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，组?1,?2,?3线性表示。

【解析】令A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2,?3)由于?1,?2,?3不能由?1,?2,?3线性表出，故（若r(A)?3，则任何三维向量都可以由?1,?2,?3线性表出） r(A)?3，从而

11aA?1a1?a1112?a2?a2?a1a1a111?3111?(2?a)1a1

a110a?1a?1011?(2?a)0a?10?(2?a)?(?1)a?100?1?

??(2?a)(a?1)2?0

从而得a?1或a??2.

当a?1时，?1??2??3?T，则?1??2??3??1?0??2?0??，?1?[1,1,1]3故

（因为方?1,?2,?3可由?1,?2,?3线性表出，但?2?[?2,1,4]T不能由?1,?2,?3线性表出，

?k1?k2?k3??2??2??1??1??1??????????程组?2??1??k1?1??k2?1??k3?1?，即?k1?k2?k3?1无解）

?k?k?k?4?4??1??1??1??????????123故a?1符合题意. 当a??2时,由于

?1?2?2?11?2??1?2?2?11?2????000?0?3?3?

[B?A]??1?2?2?1?21????????24?2??211???00?6?000??因r(B)?2?r(B??2)?3，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组BX??2无解，故?2不能由?1,?2,?3线性表出，这和题设矛盾，故a??2不合题意。

因此a?1.

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?1??1??1???1??1???????????【参考题目2】（1）设?1??0?，?2??1?，?3??2?；?1??2?，?2??0?. 问a,b为

?1??2??a??1??b???????????何值时，?1,?2不能同时由?1,?2,?3线性表示.

?111???11????? （2）设A??012?，B??20?，问a,b为何值时，矩阵方程AX?B有解，有

?12a??1b?????解时，求出其全部解.

【解析】对增广矩阵AB作初等行变换，得

??1??11??111??11??11????012?20?012?20???? ?12a?1b??00a?3?1b?1?????（1）a?3,b?1时，?2不能同时由?1,?2,?3线性表示.

a?3,b任意时，?1,?2能由?1,?2,?3线性表示，且表示法唯一. 其中Ax??1的解为x1??3,x2?2,x3?0. Ax??2的解为x1?1?b?1?2(b?1)b?1,x2?,x3?. a?3a?3a?3 又 a?3,b?1时有无穷多解，?1,?2能由?1,?2,?3线性表示，且表示法不唯一. 其中Ax??1的解为k1(1,?2,1)T?(?2,0,1)T，其中k1为任意实数. Ax??2的解为k2(1,?2,1)T?(1,0,0)T，其中k2为任意实数. （2）又上述结论知，当a?3,b?1时，矩阵方程AX?B无解；

b?1???31??a?3????2(b?1)??

当a?3,b任意时，矩阵方程AX?B有唯一解 ，且X?2?a?3???b?1???0?a?3???k1?2k2?1??? 当a?3,b?1时有无穷多解，且X???2k1?2k2?，其中k1，k2为任意实数.

?k?1k2??1?13

考点8： 非齐次线性方程组的解和导出组解之间的关系

【参考题目】A是m?n的矩阵，?1,?2,?,?s是AX?0的基础解系，?是AX?b的一个解。

1）证明?,???1,???2,?,???s无关；

2）证明AX?b的任何一个解都可以由?,???1,???2,?,???s线性表示。 证明：1）设存在常数k0,k1,k2,?,ks使得

k0??k1????1??k2????2????ks????s??0

整理得到?k0?k1?k2???ks???k1?1?k2?2???ks?s?0①

两边同时乘以矩阵A，利用A?i?0,A??b得到?k0?k1?k2???ks?b?0因为向量

b?0所以k0?k1?k2???ks?0②

将其代入①得到k1?1?k2?2???ks?s?0

因为?1,?2,?,?s是AX?0的基础解系，所以线性无关，即k1?0,k2?0,?,ks?0 代入②得到k0?0所以?,???1,???2,?,???s无关。

2）设?是AX?b的一个解，则???是AX?0的解，则???可以由AX?0的基础解系?1,?2,?,?s来线性表示，即????l1?1?l2?2???ls?s

????l1?1?l2?2???ls?s?l1????1??l2????2????ls????s????1??l1?l2???ls????

AX?b的线性无关的解的个数是s?1，由1）知?,???1,???2,?,???s线性无关，

所以结论得证。

考点9： 非齐次线性方程组有解和无解的判定，其导出组的通解 【参考题目】已知线性方程组

?x1?x2?2x3?3x4?0?2x?x?6x?4x??1?1234 ?

3x?2x?px?7x??1234?1??x1?x2?6x3?x4?t讨论参数p,t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解。

【解析】对增广矩阵作初等变换，有

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?1?2A???3??1112?1?2?6p?6347?10??1?0?1?????1??0??t??01?2120p?80032000?1?? 0??t?2?当t??2时，r(A)?r(A)，故方程组无解；

当t??2时，无论p取和值，恒有r(A)?r(A)，故方程组总有解；

若p??8，则r(A)?r(A)?3，得通解(?1,1,0,0)T?k(?1,?2,0,1)T，其中k为任意常数；

若p??8，则r(得通解(?1,1,0,0)T?k1(4,?2,1,0)T?k2(?1,?2,0,1)T A)?r(A)2?，其中k1,k2为任意常数

考点10： 矩阵可相似对角化的充分必要条件

?12?3???【参考题目】设矩阵A??14?3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是????1a5??否可相似对角化.

【解析】A的特征多项式为

??1 ?E?A??233??5?11?1??4?a1??2?(??2)?1??4?10?a03

??5 =(??2)1??4?a?13?(??2)(?2?8??18?3a). ??5已知A有一个二重特征值，有两种情况，（1）??2就是二重特征值，（2）若??2不是二重根，则??8??18?3a是一个完全平方

2（1）若??2是特征方程的二重根，则有2?16?18?3a?0, 解得a??2.

2?1?23???当a??2时，A的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=1?23的秩为1，故??2对?????12?3??应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.

2（2）若??2不是特征方程的二重根，则??8??18?3a为完全平方，从而

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