万学海文2010考研数学二（预测三）

2010年考研数学二预测（三）

考研临近，万学海文集合考研数学名师团队，深入研究2010年数学考试大纲，并结合考研数学的命题趋势及特点，在经过反复锤炼之后，分析总结知识要点，为广大考研学子潜心搜集整理了最新信息和多方面精华资料，进一步对当年的考研数学命题进行预测，帮助学员把握出题重中之重。

高等数学部分

考点1：极限四则运算法则和极限的基本性质 【参考题目】

设数列xn,yn满足limxnyn?0,则下列断言正确的是

n??（A） 若xn发散，则yn必发散 （B）若xn无界，则yn必有界 （C） 若xn有界，则yn必为无穷小 （D）若【答案】D

考点2：连续性的判定和间断点的分类 【参考题目】 设f(x)?lim1为无穷小，则yn必为无穷小 xn1?x，则（ ）

n??1?x2n（A）x??1,x?1,都是f(x)的第一类间断点 （B）x??1,x?1,都是f(x)的第二类间断点

（C）x??1是f(x)的连续点，x?1是f(x)的第一类间断点 （D）x?1是f(x)的连续点，x??1是f(x)的第一类间断点

?0, x??1,?1?x, ?1?x?1,1?x?【详解】因f(x)?lim ??n??1?x2n1, x?1,???0, x?1.f(x)?0,limf(x)?2. 于是，lim??x?1x?1所以x?1为f(x)的跳跃间断点，其余点处f(x)均连续．因此，x?1为函数的第一类间断点，x??1为连续点．

考点3：函数的几何性质

1

【参考题目1】设函数f(x)?x?tanx?esinx,则f(x)是 (A)偶函数 (B)无界函数 (C)周期函数 (D)单调函数 【答案】（B）

F(x)是f(x)的原函数，【参考题目2】设f(x)是连续函数，则 （ ）

（A） 当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。 （B） 当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。 （C） 当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。 （D） 当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。 【答案】( A )

考点4：可导与连续之间的关系

?x,x?01?【参考题目】在f(x)??1?ex 在x?0处 （ ）

?,x?0?0A.极限不存在. B.极限存在但是不连续.

C.连续但不可导. D.可导. 【答案】Ｃ 【详解】

f(x)?0，limf(x)?0，极限存在，f(0)?0 故连续。 先考虑极限lim??x?0x?0再考虑可导性 f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)f(x)?f(0)?0 f_?(0)?lim?1所以不可

x?0?x?0x?0导。故答案选C

考点5： 微分的定义、四则运算，微分形式的不变性，导数和微分的关系

【参考题目】设函数y?f(x)在x0点处可导,?x，?y分别为自变量和函数的增量,

dy为其微分且f?(x0)?0,则limdy??y? ( )

?x?0?yA．-1 B．1 C．0 D．?

【答案】C 【详解】limf?(x0)dx??ydy??y?lim?lim?x?0?x?0?x?0?y?yf?(x0)??y?x?f?(x0)?f?(x0)?0. ?yf?(x0)?x考点6：函数单调性的判断

【参考题目】设函数f(x)在区间?1,???内二阶可导,且满足条件f(1)?f?(1)?0,x?1时

2

f??(x)?0, 则g(x)?f(x)在?1,???内 ( ) x?A? 曲线是向上凹的 ?B? 曲线是向上凸的

?C? 单调减少 ?D? 单调增加

【答案】?C? 【详解】

xf?(x)?f(x),设F?x??xf?(x)?f(x),则F??x??xf??(x)?0 2x??f??(x)?0?,故F?x?单调减少,F?x??F?1??0,知g?(x)?0. g?(x)?考点7：极值的定义及判定 【参考题目】

设函数f(x)在x?0的某领域内三阶可导，limf?(x)1??，则 （ ） x?01?cosx2?A??C?f(0)必是f(x)的一个极大值 ?B?f(0)必是f(x)的一个极小值 f?(0)必是f?(x)的一个极大值 ?D?f?(0)必是f?(x)的一个极小值

【答案】?C? 【详解】因limf?(x)1f??(x)1??，故f?(0)?0(f?(x)连续）???0，故；于是limx?01?cosxx?0sinx22f??(x)?0。故当f??(0)?0(f??(x)连续）。由保号定理知，???0，使x?(??，?)时，

sinx?x)?x?(??，，0)f??(x)?0，当x?(0，?)，f?(0，由第一充分条件知，f?(0)必是f?(x)的一个极大值。所以应该选?C?.

考点8： 弧微分、曲率、曲率圆与曲率半径的概念，计算曲率和曲率半径

考点9：定积分中值定理

【参考题目1】设函数f(x)在?0,??上连续，且

??0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0,试证：

0?(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.

【详解】令F(x)???x0f(t)dt,0?x??，有F(0)?0,由题设有F(?)?0.又由题设

??0f(x)cosxdx?0,用分部积分有

0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)

00??F(x)cosx3

?0??F(x)sinxdx

0? ??F(x)sinxdx

0?由积分中值定理知，存在??(0,?)使

0??F(x)sinxdx?F(?)sin??(??0)

0?因??(0,?)，sin??0，所以推知存在??(0,?),使得F(?)?0.再在区间[0,?]与[?,?]上对F(x)用罗尔定理，推知存在?1?(0,?)，?2?(?,?)使F?(?1)?0,F?(?2)?0，即

f(?1)?0,f(?2)?0

考点10：定积分的几何应用，如，求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、侧面积及平行截面面积为已知的立体体积 【参考题目1】已知f(x)?为＿＿ .

【详解】因为当?1?x?0时，f(x)??x?1(1?|t|)dt(x??1)，则曲线y?f(x)与x轴所围图形的面积

?x0x?1?1?x?(1?t)dt?22

2当x?0时，f(x)??0?1(1?t)dt???x?1?(1?t)dt?1?2

令f(x)?0，得x1??1,x2?1?2，故

A??【参考题目2】曲线?【详解】 S?0?x?1?22?1dx??1?20??x?1?2?22 ?1??dx?1?23?????x?a(cost?tsint)从t?0到t??一段弧长s?＿＿ .

?y?a(sint?tcost)???0xt?2?yt?2dt??0?a22a2??tcost???tsint??dt??at2dt??2 ??02?x【参考题目3】设V(a)是由曲线y?xe，x?0，y?0，x?a所围图形绕Ox轴旋转一

周的立体的体积，则limV(a)?＿＿ .

a???【详解】

?；曲线的图形如右图所示， 4a2a00V?a?????xe?x?dx???x2e?2xdx

???2?0ax2d?e?2x????2?2x?2x??xe?2xedx ???0022a?a4

???a22e?2a??2?0axd?e?2x????2a?a22e?2a???2x?2x??xe?edx ?02?02?a?a???a22e?2a??a2e?2a??e?4?1?

?4a?2?2a2?2a?1???lim? ?故limV(a)??lim2a2aa???a??a??42e44e4????4???? 2aa??44e44lim考点11： 利用极坐标计算二重积分

【参考题目1】 设f(x,y)为连续函数,且f(x,y)?xx2?y2?a2??f(x,y)dxdy?y2,则

f(x,y)? . 【详解】因f(x,y)连续,从而f(x,y)在积分区域x2?y2?a2上可积,故可设

x2?y2?a2??f(x,y)dxdy?A,于是f(x,y)?xA?y2,从而有等式

2?aA?x2?y2?a2???(Ax?y2)dxdy?0?A??d??r3sin2?dr004a1?1?a ?4?2sin2?d??r3dr?4???a4?.002244

因此, f(x,y)??4xa4?y2.

22Dy??x,其中由曲线,和所围成,xydxdyy?1?xy?x?x??D【参考题目2】设I?则I之值为 ( ) A.

1111 B. C. D. 6122448y

3?40【详解】积分区域的图形如右图所示,则

I??d??r3sin?cos?dr

01???2d??0cos?0r3sin?cos?dr?1. 48O故答案为D.

考点12：一阶齐次方程的求解 【参考题目】微分方程

xdyy1y3??()满足ydxx2x5

x?1?1的特解为y?_________

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