万学海文2010考研数学二（预测三）(2)

【详解】令y?ux，有

dydudu1?u?u3 ?u?x，原方程化为 u?xdx2dxdxx22dudx12,积分得2?lnx?C，化为y，得y?即 3??

lnx?Cxuu解出y?x，再以x?1,y?1代入，得C＝1，

lnx?Cx lnx?1所以得特解y?考点13： 微分方程的应用

【参考题目】从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y （从海平面算起）与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m, 体积为B, 海水比重为

ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k >0). 试建立y 与v 所满足的微分

方程，并求出函数关系式y=y?v?.

【详解】先建立坐标系，取沉放点为原点O，铅直向下作为Oy轴正向，探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用，其中重力大小：mg，浮力的大小：F浮??液gV排??gB；阻力：kv，则由牛顿第二定律得

d2ym2?mg?B?g?kv,ydtt?0?0,vt?0?0.

d2ydvdvdydv题目只要求v与y之间的关系，为此，变化2????v，从而微分方程与初

dtdtdydtdy始条件分别成为mvdv?mg?B?g?kvdyvy?0?0

分离变量得dy?两边积分

mvdv

mg?B?g?kv?dy??mm(mg?B?g)mvln(mg?B?g?kv)?C dv ??v?2kkmg?B?g?kv再根据初始条件v|y?0?0,即

?m?mg?B?g?m(mg?B?g)ln(mg?B?g?kv)?C?0C?ln?mg?B?g?kv? ,22kk6

故所求y与v函数关系为y??m?mg?B?g??mg?B?g?kv?mv?ln??. 2kk?mg?B?g?线性代数部分

考点1： 余子式、代数余子式

【参考题目】（1）设A是三阶可逆矩阵，A的特征值为1,2,3,求A的代数余子式之 和：A11?A22?A33.

（2）若A是n阶可逆矩阵，A?a，且A中各行元素之和都是b，则A中代数余子 式之和A11?A21???An1?___________.

【解析】（1）因为A11，A22，A33为A的伴随矩阵A*的主对角线上的元素，则A11?A22?A33等于A*的三个特征值之和。而A*的三个特征值分别：

?1111,,，所以632A11?A22?A33?111???1. 632?1??b?????1b（2）因为A中各行元素之和都是b，所以 A?????.由于可逆，因此b?0.

????????1????b???????b??a??1??b??b??1??1??????????????b?1bb111a?1A*???A*?a? ，A*?????，即 又 ???A?????????A??????b??????????????1???b???b???1???1?????????????b????a??A11A21?A12A22 ??????A?1nA2nAn???1?11??????An??a?1?a21?????A?， 所以 A11?A21. n1?????b???b????????1?Ann?????1?考点2： 含零子块的四分块矩阵的行列式；伴随矩阵和可逆矩阵的行列式

?A3A*?【参考题目】A,B均是n阶矩阵，A?a,B?b,C???，则C??10????B2??

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??1?【答案】

n26nan?1

bA3A*?1【解析】 C??B2?0???1??1n?n3A*?B2??1

3A?3An2*n*n?1?3nan?1,?B2?n?1?2B?1?2nB?1?2nb?1

C???1?3ann?1?2b???1?6nan?1b

n2考点3： 初等变换、初等矩阵和初等变换的关系 【参考题目】

?a11?设A??a21?a?31a12a22a32a13??a21??a23?,B??a11?a?aa33??3111?a22a12a32?a12??010????a13?,P?1001??,

?001?a33?a13????a23?100???P2??010?,则必有 ( )

?101??? (A) APP12?B (B) AP2P1?B

(C) PP?B 12A?B (D) P2PA1【答案】(C)

【解析】P1是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,P2是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；

而B是由A先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此

PP12A?B,故应选(C).

考点4： 转置矩阵、逆矩阵及其性质

【参考题目】设四阶矩阵

?1 ?1 0 0??2 1 3 4?????0 1 ?1 00 2 1 3?,C???, B???0 0 1 ?1??0 0 2 1?????0 0 0 10 0 0 2?????1?1TT且矩阵A满足关系式A(E?CB)C?E,其中E为四阶单位矩阵,C表示C的逆矩

阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.

【解析】由(AB)?BA知(E?CB)C?[C(E?CB)]?(C?B),

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TTT?1TT?1TTT 那么由A(C?B)T?E知A?[(C?B)T]?1?[(C?B)?1]T.

?1?0由 C?B???0??0如果对

210032104??3?, ?2?1??1??C?B??E?作初等行变换,则由??C?B??E???E??C?B?210032104?13?02?01?0010000100??0?, ?0?1??可以直接得出A.

T?1?0通过矩阵的初等变换??C?B??E????0??0第四行乘以??2?、??3?、??4?分别加到第三、二、一行上,得到

?1?0 ???0??0210032100?10?00?01?001000?4??0?3?,

1?2??01?再第三行乘以??2?、??3?分别加到第二、一行,得到

?1?0???0??0210000100?10?00?01?00?32??1?21?,

01?2??001?最后第二行乘以??2?加到第一行上,得到

?1?0???0??0010000100?1?210??0?01?21?,

0?001?2??1?0001?0??0?. ?0?1??1?210??100???01?21?1?,故A???210所以(C?B)???001?2??1?21????0001??01?2考点5： 分块矩阵及其运算

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?0a10?00a2?【参考题目】设A??MMM??000??an00LLLL?0??M?,其中ai?0,i?1,2,L,n,则A?1?_______. ?an?1?0??0??00??1?a0?1【答案】?10?a2??????00???0?0?0??1an?11?an???0??? 0?????0???A??0???10???A?1?0【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式??BB?1??, 0??a1?且 ????a2?1?a?1?1???????????an?????1a2????? ????1?an????00??1?a0?1?1所以,本题对A分块后可得A??10?a2??????00??T?0?0?0??1an?11?an???0???. 0?????0???TT考点6： 向量组的线性相关性的判别和有关性质

【参考题目1】?1??1,?1,c1,0?,?2??1,0,c2,3?,?3??0,0,c3,5?,?4??1,0,0,8?，则下列正确的是（ ）

T?A??1,?2,?3,?4必相关； ?B??1,?2,?3,?4必无关

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