有优先权的两状态三部件的冷贮备系统的可靠性研究(4)

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?1?2?4?1?2(?1??2??2)(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?1?2?3?1?2(?1??2??2)p3?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?2?3?12?2(?1??2??2)p4?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)p2??1?3?12?2(?1??2??2) p5?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?1?2?3?4?1(?2??2)p6?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?12?2?3?4?1p7?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?1?2?3?4(?1??2)(?1??1)p8?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)

3.4 系统的稳态指标

3.4.1 系统的稳态可用度

部件1正常工作稳态可用度：A1?p0?p4?p6 部件1异常工作稳态可用度：A2?p1?p5?p7 部件2正常工作稳态可用度：A3?p2 部件2正常工作稳态可用度：A4?p3 系统工作的稳态可用度：A?A1?A2?A3?A4

由于部件1和部件2的作用不同，所以系统工作应区分是哪个部件在工作，是正常工作还是异常工作. 因此在研究系统可用度这个指标时需区分系统是哪个部件、哪种工作状态的可用度. 当研究系统收益时，必须做出区分，若只关心系统工作的概率则可不加区分.

3.4.2 系统首次故障前平均时间

为求系统的首次故障前平均时间，我们令系统所有故障状态为马尔可夫过程中的吸收态. 即令(2.6)中

由上述可知，此模型的工作状态集为W?{0,1,?,7}，故障状态集F??8?，所以

aij?0,i?F,j?E 12

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这样就可以构成一个新的马尔可夫过程{V(t),t?0}.

如果令

Qj(t)?p{V(t)?j},j?E

则类似于公式(3.2)可得到一微分方程组

?BC??(t),QF?(t))?(QW(t),QF(t))?(QW? (3.4)

?00??(t)?(Q0(t),Q1(t),?,QK(t)),QF?(t)?(Qk?1(t),Qk?2(t),?,Qn(t)),其中QW

???1?0???1?0?B??0??0???2??0则

?1??2000000000000000?2?(?3??1)00000?3?(?4??1)0?1??1000?200?1??200?2??00??00?00??00?00???(?1??2)?1?0?(?2??2)??

00由定理2. 2可知，在QW(0)为初始条件时且设系统在0时刻是由状态0开始的，

??Q0(0)?1???Qj(0)?0,j?E

所以有

R(t)?QW(t)ew， (3. 5)

其中ew为分量均为1的K+1维列向量，解方程组(2.16)

利用拉普拉斯变换可得

*QW(s)?QW(0)(sI?B)?1,s?0

所以，将(3.5)两端做拉普拉斯变换，就有

*R*(s)?QW(s)ew?QW(0)(sI?B)?1ew

将上式反演可求对系统可靠度.

另外由公式(2.17)和定理2.3可得系统故障前平均时间为

MTTFF?R*(0)??QW(0)B?1ew

所以有

(x0,x1,?,xK)??QW(0)B?1

解得

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x0?x3??3??1,?1?31x1??4,?3??1,?2?3?x4?1,?1?4x7?0x2?1?3?x5?1,

?2?4,x6?0所以系统故障前平均时间为

MTTFF?x0?x1???x7

3.4.3 系统的故障频度 由定理2.4和定理2.5可解得: 系统t时刻故障频度为：

W(t)??4p3(t)??2p7(t)

系统稳态故障频度为：

W?limW(t)??4p3??2p7

t??4 实例研究

一洗澡堂共有两个锅炉用来烧热水，一为电锅炉，另一个为烧煤炉. 其中两个锅炉都有三种状态，分别为：正常工作状态、异常工作状态和故障状态，且优先使用烧煤炉，即在烧煤炉能工作时都让烧煤炉工作. 两个锅炉都只能由正常工作状态到异常工作状态，异常工作状态到故障状态，故障状态经维修到正常工作状态. 当其中一个锅炉在工作时另一个锅炉处于贮备状态，此时，贮备状态的锅炉的状态不会发生改变. 若令时间t的单位时间为:小时，经试验知：烧煤炉的正常工作时间X1分布函数为：

F1(t)?1?e??1t,(?1?0.007,)，异常工作时间X2分布函数为F2(t)?1?e??2t,(?2?0.07)，

修理时间Y1分布函数为：G1?1?e??1t,(?1?1.2). 电锅炉正常工作时间X3分布函数为

F3(t)?1?e??3t,(?3?0.008)，异常工作时间X4分布函数为：F4(t)?1?e??4t,(?4?0.08)，修理时间Y2分布函数为：G2?1?e??2t,(?2?1). 求此系统的稳态可用度、系统故障前平均时间和系统的稳态故障频度. 解：

由题易知，此系统为一个三状态两部件的冷贮备系统. 所以由前文易知有方程组：

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???1p0??1p2??2p6?0???p??p??p?027?2110??(?3??1)p2??2p1?0???(?1??4)p3??3p2??2p5?0????1p4??1p3?0????2p5??1p4?0??(?1??2)p6??1p8?0???(?2??2)p7??1p6?0???p??p??p?02743?18??p0?p1?p2?p3?p4?p5?p6?p7?p8?1

对此方程组求解可得

?2?4?1?2(?2?3??1?1??2?1??3?2??1?2)(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)????(???)(?????)p1?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?1?2?4?1?2(?1??2??2)p2?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?1?2?3?1?2(?1??2??2)p3?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?2?3?12?2(?1??2??2)p4?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)p0?141213122?1?3?12?2(?1??2??2) p5?22(?3?4?2+?1?2(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?1?2?3?4?1(?2??2)p6?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?12?2?3?4?1p7?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)?1?2?3?4(?1??2)(?1??1)p8?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1) 又因为

?1?0.007,?2?0.07,?3?0.008,?4?0.08,?1?1.2,?2?1

所以有

p0?8.2?10?1,p1?8.2?10?2,p2?4.8?10?3,p3?4.8?10?7

p4?8.2?10?2p5?8.2?10?3,p6?3.8?10?5,p7?2.5?10?7,p8?3.2?10?5 15

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部件1正常工作稳态可用度：A1?p0?p4?p6=0.90

部件1异常工作稳态可用度：A2?p1?p5?p7=0.09 部件2正常工作稳态可用度：A3?p2=4.8?10?3 部件2正常工作稳态可用度：A4?p3=4.8?10?7 系统工作的稳态可用度：A?A1?A2?A3?A4=0.9999 又因为由前文可知

x0?x4??3??1???311, x1?3, x2?, x3?,

?3?4?1?3?2?3?1?, x5?1, x6?0, x7?0 ?1?4?2?4MTTFF?27460(小时)

且系统故障前平均时间MTTFF?x0?x1???x7，所以 由定理2.4和定理2.5可解得: 系统稳态故障频度为

W?limW(t)??4p3??2p7=5.59?10?8

t??5 结 束 语

在模型中，我们研究了有优先权的两部件三状态的冷贮备可修系统的可靠性，较以往相关模型更接近实际情况. 但在实际情况中部件的正常工作时间、异常工作时间和修理时间往往不服从指数分布，所以本文的结果不能完全准确的反映出实际中所有这种可修系统的精确特征. 当部件的正常工作时间、异常工作时间和修理时间不都服从指数分布时，描述系统的随机过程不是马尔科夫过程，建立系统的模型及求解过程将变得非常复杂. 另外还有现实系统中部件的状态多于三个，这时即使建立马尔科夫过程模型也很复杂. 还有当系统工作时，我们希望知道是正常工作还是异常工作，这就需要考虑在系统工作时进行检测，这也会使系统的建模和求解变得很复杂. 所以还有很多更具现实意义的问题可以进行研究，但需要更深的数学知识和更多的时间.

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