有优先权的两状态三部件的冷贮备系统的可靠性研究(3)

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pj(t)??pk(0)pkj(t),k?Ej?E

当t??，由上式易得

limpj(t)??pk(0)limpkj(t)??pk(0)?j??j (2.14)

t??K?Et??K?E定理2.1 系统的稳态可用度为:A???J，其中?j,j?W满足线性方程组

j?W?(?0,?1,?,?N)Q?(0,0,?,0) ???0??1????N?1Q?(aij)为系统的转移率矩阵.

引理2.3 对任一j?E，有limp?j(t)?0.

t??(2)系统的可靠度

系统可靠度R(t)是从0时刻到t时刻过程{X(t),t?0}一直处于工作状态的概率，若令故障状态为吸收状态，则得一新马尔科夫过程{X(t),t?0}，系统可靠度R(t)就是过程{X(t),t?0}从工作状态开始时刻t尚未进入吸收状态的概率. 假设过程

{X(t),t?0}在时刻t处于状态j的概率为Qj(t)，系统初始状态的概率分布为

~~~??Qj(0)?1?Q(0)??j?W (2.15)

??Qj(0)?0,j?F定理2.2 当给定初始状态概率分布分布(2.15)，则系统可靠度为

R(t)??Qj(t)

j?W其中Qj(t),j?W满足微分方程组

?(t)?QW(t)B?QW??QW(0)(2.16)

其中QW(0)为初始状态概率，且B?(aij),i,j?0,1,?,K.

(3)系统首次故障前平均时间

若系统可靠度为R(t)，则系统首次故障前平均时间为

?MTTFF??R(t)dt?R*(0) (2.17)

0因为有时求出R*(t)比较麻烦，所以以下给出一简单解MTTFF的方法.

定理2.3 当给定系统初始状态分布为QW(0)时，则有

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MTTFF?x0?x1???xK

其中x0,x1,?,xK 满足线性方程组

(x0,x1,?,xK)B??QW(0)

(4)系统的故障频度

令N(t)表示(0,t]时间内系统的故障次数，且令

Mi(t)?E{N(t)|X(0)?i}，i?E (2.18)

Mi(t)表示时刻t?0系统从状态i出发的条件下，在(0,t]中系统的平均故障次数.

定理2.4 当时刻0系统的初始分布为

P(0)?(p0(0),p1(0),?,pN(0))，

则时刻t系统的瞬时故障频度为

W(t)??pk(t)?akj?PW(t)CeF (2.19)

k?Wj?F其中Pk(t),k?W是方程组(2.7)的解.

定理2.5 系统稳态故障频度为

W?limw(t)???k?akj??WCeF (2.20)

t??k?Wj?F其中?W?(?0,?1,?,?K)是定理2.1中方程组的解.

3 有优先权的三状态两部件冷贮备系统的可靠性分析

3.1 引言

在现实生活中，不同部件对系统的影响也不同，如有的部件比其他部件重要，或有的部件若故障造成的损失会很大，为了充分发挥他们的作用，它们的使用或修理有优先权. 同一部件也可以拥有多种状态，如很多现实系统中部件有正常工作状态、异常工作状态、故障状态这三种状态，而不是仅仅只有工作和故障两种状态. 所以有优先权的三状态两部件冷贮备系统在现实生活中是比较常见的系统，对其进行可靠性分析也是十分重要的. 本节研究了可靠性理论中的“有优先权的三状态两部件冷贮备系统的可靠性”，并利用可靠性数学理论，推导出了系统的稳态可用度、首次故障前平均时间和故障频度这三个稳态指标.

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3.2 模型假设

假设1：系统是由部件1、部件2、可靠的转换开关和一个修理工组成的冷贮备可修系统，部件1、2都具有三种状态，分别为：正常工作状态，异常工作状态，故障状态. 系统为冷贮备系统，所以部件在贮备期间状态不会发生变化.

假设2：部件1的正常工作时间X1分布函数为:F1(t)?1?e??1t，(?1?0),异常工作时间X2分布函数为F2(t)?1?e??2t，(?2?0)，修理时间Y1分布函数为G1?1?e??1t，

(?1?0). 部件2的正常工作时间X3分布函数为:F3(t)?1?e??3t，(?3?0)，异常工作

时间X4分布函数为:F4(t)?1?e??4t，(?4?0)修理时间Y2分布函数为G2?1?e??2t ,

(?2?0)所有随机变量相互独立.

假设3：部件1、2只能由正常工作状态到异常工作状态，再由异常工作状态到故障，故障经维修后恢复到正常工作状态. 开始时部件1开始处于正常工作状态，部件2处于贮备状态. 当工作部件故障时，若贮备部件无故障，则贮备部件接替工作. 部件1具有优先使用权和优先修理权，即当部件1、2都能工作是，优先使用部件1. 当部件1、2都需要维修时优先维修部件1.

3.3 系统的马尔科夫过程模型

定义系统的各个状态过程如表3.1：

表3.1 状态表

状态编号

部件1状态

部件2状态

系统状态

0 1 2 3 4 5 6 7 8

正常工作 异常工作 维修 维修 正常工作 异常工作 正常工作 异常工作 维修

正常冷贮备 正常冷贮备 正常工作 异常工作 异常冷贮备 异常冷贮备

维修 维修 待修

正常工作 异常工作 正常工作 异常工作 正常工作 异常工作 正常工作 正常工作 故障

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用X(t)表示系统t时刻所处的状态，由于系统中的所有随机变量均为互相独立的指数分布随机变量，所以{X(t):t?0}为马尔科夫过程.

由上述易知，在?t内系统的状态转移图可见图3.1.

图3.1 状态转移图

由上可知：这个有限状态区间马尔可夫可修系统有9个状态，其中状态0,1,?,7是系统的工作状态，8是系统的故障状态. 记

E??0,1,?,8?，W??0,1,?,7?, F??8?,

可得其状态转移矩阵：

???1?1?0??2???10?0?0A??00?0?0??0?2?2?0?00?0?200?(?3??1)?30?(?4??1)?100??1?10?20??20000000000000000000??????4?0? ?0??(?1??2)?10??0?(?2??2)?2??10??1??000000000000000下面利用推导状态概率微分方程组(2.6)的方法推导出系统的状态概率微分方程组.

p0?t??t??p0?t??1??1?t???1p2(t)?t?p6(t)?2?t????t? p0?t??t??p0?t????pt??t??p1(t)2?t?p(t)?1?06?t?2???t?p0?t??t??p0?t????t????1p0?t???1p2(t)?p6(t)?2??t?t

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lim?t?0p0?t??t??p0?t????t??lim[??1p0?t??t??1p2(t)?p6(t)?2?] ?t?0?t?t1?1p0(t)?? p0?(t)??同理可得微分方程组

p2(t?)?2p 6(t)?(t)???1p0(t)??1p2(t)??2p6(t)?p0?p?(t)???p(t)??p(t)??p(t)211027?1?p2?(t)??(?3??1)p2(t)??2p1(t)??(t)??(?1??4)p3(t)??3p2(t)??2p5(t)?p3??(t)???1p4(t)??1p3(t) (3.1) ?p4?p?(t)???p(t)??p(t)2514?5?(t)??(?1??2)p6(t)??1p8(t)?p6??(t)??(?2??2)p7(t)??1p6(t)?p7??(t)???1p8(t)??2p7(t)??4p3(t)?p8所以可得方程

?(t),p1?(t),?,pn?(t))T?AT(p0(t),p1(t),?,pn(t))T. (3.2) (p0令

Pi?limpi(t),i?0,1,2,?,8.

t??所以由引理2.3和公式(3.1)可得方程组

???1p0??1p2??2p6?0???p??p??p?027?2110??(?3??1)p2??2p1?0???(?1??4)p3??3p2??2p5?0????1p4??1p3?0 (3.3) ???p??p?0?2514??(?1??2)p6??1p8?0???(?2??2)p7??1p6?0???p??p??p?02743?18??p0?p1?p2?p3?p4?p5?p6?p7?p8?1解方程组(3.3)可得

?2?4?1?2(?2?3??1?1??2?1??3?2??1?2)(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)????(???)(?????)p1?(?3?4?22+?1?22(?3+?4)+?3?4(?1?2+?1?2+?2?2)+?1?2(?1+?2)(?3+?4))(?1?2+?1?1+?2?1)p0?141213122 11

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