有优先权的两状态三部件的冷贮备系统的可靠性研究(2)

石家庄铁道大学毕业论文

可靠性理论虽然起源于材料的寿命研究问题，但是现在可靠性问题与实际生活的方方面面的联系越来越多，国际上对它的重视程度也越来越高. 可靠性数学在实际操作中的运用可以提高系统的可靠性，降低系统的成本和风险.

1.2 论文的国内外研究背景和现状

可靠性数学模型可分为单部件系统和多部件系统(部件个数大于等于2)，提高系统可靠性的方法主要有两种：一是给原系统中的某些部件并联上一些部件. 但这种方法当某个部件故障时难以被发现，只有当所有部件故障，系统处于故障状态时才能被发现. 二是采用为部件留有贮备部件的方法. 因为当此方案中工作部件故障时，贮备部件可以替换故障部件继续工作. 所以对部件留有贮备部件的方法可靠性更高些. 我们一般考虑较多的是多部件贮备系统. 比如降落伞的备用伞包，在主伞发生故障时，可以立刻启用备用伞包替换损坏的主伞进行降落，使跳伞人员不会因主伞发生故障而发生危险. 这种为部件留有贮备部件的系统就是贮备系统，根据贮备方式的不同还可以分为冷贮备系统和温贮备系统.在贮备期间状态不会改变的是冷贮备系统，在贮备期间可能会发生改变的是温贮备系统

随着社会经济和科技水平的不断发展，大家对可靠性的研究也越来越重视，可靠性研究也越来越深入和广泛. 吴太清[12]、叶尔骅[13]等人在开关不完全可靠的条件下对两不同部件的温贮备系统和冷贮备系统进行了研究. 在实际生活中，不同部件的重要程度、工作效率存在着差别. 如，在供电系统中，备用发电机的可靠性和功率一般都要小于正常使用状态下的发电设备，所以在供电系统中应尽量使用正常状态下的发电设备而少使用备用发电机. 这就表现出优先权在可修系统中的重要性. 优先权这个概念的引入，使得可修系统在可靠性领域有了更广泛的发展.以上研究大都集中在部件只拥有工作和故障两个状态，而对现实中部件拥有三个或以上的状态的情形没有考虑过，而有优先权的三状态冷贮备可修系统更具有实际意义，但尚未见到对此可修模型进行研究的文献，所以，这方面的研究还有很大的空间，本文就是研究有优先权的2部件三状态的冷贮备系统的可靠性.

1.3 课题研究的目的和意义

1.3.1 课题研究的目的

在现实生活的实际操作中，提高系统的可靠性一般都是采用维修等方法. 以前学者们提出了很多可修系统的模型和维修策略并进行了深入的研究. 这些研究结果对实际中系统的运行提供了理论依据. 以前有关有优先权的可修系统的研究中部件都

2

石家庄铁道大学毕业论文

只有工作和故障两个状态，而实际中很多系统中的部件有三个和三个以上的状态. 本文在现有可靠性研究的结果的基础上，提出了有优先权的两部件三状态的冷贮备可修系统这一新的、更接近实际情况的可修系统模型. 并在一定的假设条件下对此模型进行可靠性分析，得到了系统的可用度和系统首次故障前平均时间等可靠性指标，所得结果可为提高现实生活中的相应系统的可靠性提供参考依据.

1.3.2 课题研究的意义

可靠性问题与我们的人身安全和经济效益的联系十分紧密. 因此，研究系统的可靠性问题，对我们来说就显得十分重要. 本课题致力于研究有优先权的两部件三状态冷贮备可修系统的可靠性问题具有较大的实际意义，主要意义有

(1)提高系统可靠度，可以降低故障或事故发生的几率，尤其是可以避免灾难性的事故发生. 如2005年4月28日，胶济铁路发生一起客车脱线相撞重大事故，由于运行监控器发生故障，导致列车实际速度与监控数据不符，如果能设有贮备部件，当运行监控器发生故障时，有备用件继续工作，则故障就有可能不会发生.

(2)提高系统可靠度，可以使产品的成本降低. 提高产品的可靠性可以使系统发生故障的概率降低，这样就可以降低系统的维修费用，从而使成本降低.

(3)提高系统可靠度，可以减少停机时间，提高产品可用率. 为系统设置设备备用件，可使系统在某个设备故障时仍然进行工作，这样就能减少停机时间. 对于某些高危行业如：矿山、运输等，可靠性就显得更加重要.

(4)提高系统可靠性，可以增加他人对企业的信任程度，增强企业的市场竞争力，扩大产品对市场的占有率，从而提高经济效益. 现实系统中很多部件都有多个运行状态，并不是仅有工作和故障2个状态[3]. 部件往往正常工作一段时间后再异常工作一段时间然后故障，但异常工作时间效率可能有所下降. 如果忽视这种实际情况，系统一异常就作为故障处理或将异常作为正常处理，则会降低系统的可靠度或夸大系统的作用，都不利于公司的信誉. 本文研究了这种实际情况，能得到精确的可靠性指标，既能提高系统的可靠性，又有更高的可信度，有利于提高产品的信誉.

2 可靠性数学相关理论

2.1 问题分析

这是一个马尔可夫可修系统中的可靠性问题，于是我们采用马尔可夫可修系统的一般研究方法进行研究. 先求出此系统的状态转移矩阵，再由状态转移矩阵可得一个

3

石家庄铁道大学毕业论文

微分方程组和一个线性方程组，解线性方程组进而可求出系统的稳态可用度和故障频度. 最后再由拉普拉斯变换可求出系统的可靠度，进而求出系统首次故障前平均时间这一重要指标. 求这些稳态指标需要用到系统的可靠性理论和马尔可夫过程理论等知识.

2.2 马尔可夫可修系统的相关知识

2.2.1 马尔可夫过程

设?X(t),t?0?是在E??0,1,?,N?上取值的一个随机过程. 如果n可取任意自然数，并且任意n个时间点0?t1?t2???tn，都有

p?X(tn)?in|X(t1)?i1,X(t2)?i2,?,X(tn?1)?in?1??p?X(tn)?in|X(tn?1)?in?1?,i1,i2,?,in?E (2.1)

则?X(t),t?0?可称为离散状态空间E上的连续马尔可夫过程. 又如果对任意的

t,u?0，均有

p?X(t?u)?j|X(u)?i??pij(t),i,j?E (2.2)

与u无关，则将这种马尔可夫过程叫做时齐的马尔可夫过程.

对固定的i,j?E，函数pij(t)叫做转移概率函数. p(t)?(pij(t))叫做转移概率矩阵 另外，我们假设马尔可夫过程?X(t),t?0?的状态转移概率函数满足

?1,i?j (2.3) limpij(t)??ij??t?00,i?j?转移概率函数有以下性质

??pij(t)?1?j?E? (2.4) ?pij(t)?0???pik(u)pkj(v)?pij(u?v)?k?E如果我们令

pj(t)?p{X(t)?j},j?E

表示在时刻t系统处于状态j是的概率，那么有

pj(t)??pk(0)pkj(t).

k?E时齐的马尔可夫过程有以下重要性质

(1)对于时齐马尔可夫过程在有限状态空间E，以下极限

4

石家庄铁道大学毕业论文

pij(?t)?lim?qij,i?j,i,j?E???t?0?t (2.5) ?1?p(?t)ii?lim??qi,i?E?t?0??t?存在且有限.

(2)若记T1,T2?为过程?X(t),t?0?的状态转移时刻，0?T0?T1?T2??,X(tn)表示第n次状态转移后过程访问的状态. 若X(Tn)?i则Tn?1?Tn为过程在状态i的停留时间. 则有

引理2.1 对任何i,j?E,u?0有p{Tn?1?Tn?u|X(Tn)?i,X(Tn?1?j)}?e?qiu,

n?0,1,?. 与n和状态j无关.

所以，有限状态空间的时齐马尔可夫过程在任何状态i的逗留时间遵从参数qi的指数分布(0?qi??)，与其它状态无关. 如果qi?0，称状态i为稳定态；如果qi?0， 则p{Tn?1?Tn?u|X(Tn)?i,X(Tn?1?j)}?1,状态i将一直停留Tn时刻，此时状态i为吸收态. 吸收态就是这样的状态，当过程一旦进入这个状态将永远停留在那个状态.

令qii??qi，称Q?(qij)为系统的转移概率矩阵. 由全概率公式

pj(t??t)?pj(t)[1??qjk?t]??pk(t)qkj?t??(?t)k?jk?j

pj(t??t)?pj(t)[1?qjj?t]??pk(t)qjk?t??(?t)

k?jpj(t??t)?pj(t)?t?pj(t)qjj??pk(t)qkj?k?j?(?t)?t

pj(t??t)?pj(t)?t两边令?t?0得

??pk(t)qkj?k?E?(?t)?t

pj?(t)??pk(t)qjk (2.6)

k?E这就是状态概率函数满足的微分方程组.

令p(t)?(p0(t)?pN(t))T、p?(t)?(p0?(t)?pN?(t))T则

p?(t)?Qp(t) (2.7)

称pj?limpj(t)为过程处于j状态的稳态概率

t?0若limpij(t)??ij，则pj?limpj(t)存在且

t?0t??

5

石家庄铁道大学毕业论文

limp?j(t)?0 (2.8)

t?0令p?(p0?pN)T，由(2.7)，(2.8)得

Qp?0 (2.9)

这就是稳态状态概率满足的线性方程组.

2.2.2 马尔可夫型可修系统的一般模型

假设一个具有有限状态空间E的时齐马尔可夫可修系统有N?1个状态，令X(t)W是系统的工作状态集；F表示时刻t该系统处的状态，E为系统的状态集合. 其中，

是系统的故障状态集. 记E??0,1,?,N?,W??0,1,?,k?,F??k?1,k?2,?,N?. 在?t内的转移概率函数满足

pij(?t)?aij?t??(?t),i,j?E,i?j (2.10)

其中{aij:i,j?E,i?j}是给定的，并且aij?0显然

pii(?t)?1??pij(?t)?1??aij?t??(?t) (2.11)

j?ij?Ej?ij?E令

则有

由(2.5)式易得

pii(?t)?1?aii?t??(?t) (2.13)

aii???aij (2.12)

j?ij?E??qiji?j,i,j?E aij?????qii?j,i,j?E2.2.3 系统可靠性指标[14]

在马尔科夫可修系统中，描述可修系统的主要可靠性指标有： (1)系统的可用度

系统的瞬时可用度定义为：A(t)?P{系统在t时刻工作}. 系统的稳态可用度定义为：A?limP{系统在t时刻工作}.

t??在现实生活的运用中，稳态可用度这一度量指标受到关注程度很高. 在求系统的稳态可用度时，要用到p(t)的极限分布.

引理2.2 对所有i,j?E，若limpij(t)??ij，则存在limpij(t)??j.

t?0t??由公式(2.10)和公式(2.13)可知引理2.2的条件满足. 由于

6

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库有优先权的两状态三部件的冷贮备系统的可靠性研究(2)在线全文阅读。