经济计量学--习题与解答(4)

1．多元回归分析中为何要使用调整的判定系数。

?方差的因素有哪些？ 2．多元经典回归模型中，影响偏回归系数βj的最小二乘估计量?j3．简述高斯一马尔可夫定理及其意义；

４．简述多元回归模型的整体显著性检验决策规则。 5．对于多元线性回归模型，为什么在进行了总体显著性F检验之后，还要对每个偏回归系数进行是否为0的t检验。

６．对数线性模型的优点有哪些？

７．什么是回归模型的设定偏误？简要说明其后果。

五、计算题 1．使用30年的年度数据样本，得到某地区生产函数模型回归结果如下： LnY?1.655?0.358LnL?0.745LnK （0.185） (0.125) (0.095) R2 = 0.955

其中，Ｙ=地区生产总值（亿元），L=劳动投入（亿元），K=资本存量（亿元）。（计算结果保留三位小数）。

要求：（1）检验各回归系数的显著性； （2）检验回归模型的整体显著性；[??0.05，F0.05 (2,27)=3.42，F0.05 (3,30)=2.92]

（3）利用回归结果分析该地区的投入产出状况。

2．对二个解释变量的回归模型Ｙt=β1+β2Ｘ2t+β3Ｘ3t+ut，使用20年的年度样本数据进行回归，解释平方和ESS=64.50，总平方和TSS=66.30。（计算结果保留二位小数）

要求：（1）求出该回归模型的判定系数R2和R2；

（2）对该回归模型进行整体显著性检验。

[??0.05，F0.05 (2,17)=3.59，F0.05 (3,20)=3.10]

3．据1950—1969年的年度数据得到某国的劳动力薪金模型

?=8.582+0.364(PF)t+0.004(PF)t-1－2.560Ｕt Wt (1.129) (0.080) (0.072) (0.658) R2=0.873

其中，W=劳动力平均薪金，PF=生产成本，U=失业率（%）。（计算结果保留三位小数） 要求：（1）对模型回归系数进行显著性检验。[??0.05，t0.025(16)=2.12] （2）引进变量(PF)t-1合理吗？ （3）如要估计劳动力薪金对失业率的弹性应如何处理？ 六、分析题 1．设定某商品的需求模型为 Ｙ=β0+β1Ｘ1+β2Ｘ2+β3Ｘ3+β4Ｘ4+ u

其中，Ｙ=商品销售量，Ｘ1＝居民可支配收入，Ｘ2=该商品的价格指数，Ｘ3=该商品的社会拥有量，Ｘ4=其它商品价格指数。搜集到10个年份的年度数据，得到如下两个样本回归模型：

???12.76?0.104X?0.188X?0.319X 模型1：Y124

(6.52) (0.01) (0.07) (0.12)

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R2=0.997

???13.53?0.097X?0.199X?0.015X?0.34X 模型2：Y1234 (7.5) (0.03) (0.09) (0.05) (0.15)

R2=0.998 模型式下括号中的数字为相应回归系数估计量的标准误。 试对所给出的两个模型进行检验，并选择出一个合适的模型。[??0.05，t0.025(5)=2.57，t0.025(6)=2.45；F0.05(3,6)=4.76，F0.05(4,5)=5.19] （计算结果保留二位小数）

2．据20年的年度样本资料，得到如下的劳动力薪金模型

?=1.073 + 5.288Vt－0.116Ｘt+0.54M t + 0.046M t-1 Wt (0.797) (0.812) (0.111) (0.022) (0.019) R2=0.934

其中，Wt=劳动力人均薪金，V=岗位空缺率，X=就业人员人均国内生产总值，Mt=出口额，Mt-1=上年出口额（括号内的数字为标准误，计算结果保留三位小数）。 要求：（1）引进变量Ｘ的原理为何？理论上，Ｘ的系数符号应为正还是负。 （2）哪些变量可从模型中删去。[t0.025 (15)=2.131] （3）检验回归模型的总显著性，[F0.05(4,15)=3.06] 3．经济学家提出假设，能源价格上升导致资本产出率下降。据30年的季度数据，得到如下回归模型：

Ln(Y/K)=1.5492+0.7135Ln(L/K)－0.1081LnP+0.0045t

(16.35) (21.69) (-6.42) (15.86) R2=0.98

其中，Ｙ=产出，Ｋ=资本流量，L=劳动投入，Pt=能源价格，t=时间。括号内的数字为t统计量。（计算结果保留二位小数） 问：（1）回归分析的结果是否支持经济学家的假设； （2）如果在样本期内价格P增加60%，据回归结果，资本产出率下降了多少？ （3）除了（L/K）和P的影响，样本期内的资本产出率趋势增长率如何？ （4）如何解释系数0.7135？

参考答案

一、单项选择题 1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D 9．A 10．A 11．A 12．D 13．D 14．C 15．D 二、多项选择题 1．BCD 2．BC 3．ABCD 4．AC 三、名词解释

1．多元线性回归模型：在模型中包含二个以上的解释变量的线性回归模型。

2．调整的判定系数：R2?1??ei/(n?k)?(Yi2?Y)2/(n?1) ，所谓调整，就是指R的计算

2式中的

?e2i和

?(Yi?Y)2都用它们的自由度（n－k）和（n－1）去除。

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3．对数线性模型：LnYi????LnXi?ui ，该模型中LnYi对?,?是线性关系，LnYi

对LnXi也是线性关系。该模型可称为对数—对数线性模型，简称为对数线性模型。 四、简答题

1．多元回归分析中为何要使用调整的判定系数。

答：判定系数R2的一个重要性质是：在回归模型中增加一个解释变量后，它不会减少，而且通常会增大。即R2是回归模型中解释变量个数的非减函数。所以，使用R2来判断具有相同被解释变量Y和不同个数解释变量X的回归模型的优劣时就很不适当。此时，R2不能用于比较两个回归方程的拟合优度。

为了消除解释变量个数对判定系数R2的影响，需使用调整后的判定系数：

R2?1??ei/(n?k)?(Yi2?Y)2/(n?1) ，所谓调整，就是指R2的计算式中的

?ei和?(Yi?Y)22都用它们的自由度（n－k）和（n－1）去除。

?方差的因素有哪些？ 2．多元经典回归模型中，影响偏回归系数βj的最小二乘估计量?j?的方差取决于如下三个因素：?,SST和R。 答：?jjj22?)与?成正比； ?越大，??的方差Var(??)越大。回归模型的干扰项u（１）Var(?jjj22是对回归结果的干扰，干扰(?)越大，使得估计任何一个解释变量对Y的局部影响就越困难。

2?)与Xj的总样本变异SSTj成反比；?的方差Var(??)?（２）Var(?总样本变异SSTj越大，jjj越小。

?)与解释变量之间的线性关联程度R正相关；R越大，??的方差Var(??)（３）Var(?jjjjj22越大。

3．简述高斯一马尔可夫定理及其意义。

?分别?，??，?，?答：在多元线性回归模型的经典假定下，普通最小二乘估计量?k12?，??，?，是?1，?2，?，?k的最佳线性无偏估计量。就是说，普通最小二乘估计量?12?是所有线性无偏估计量中方差最小的。 ?k高斯－马尔可夫定理的意义在于：当经典假定成立时，我们不需要再去寻找其它无偏估计量，没有一个会优于普通最小二乘估计量。也就是说，如果存在一个好的线性无偏估计

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量，这个估计量的方差最多与普通最小二乘估计量的方差一样小，不会小于普通最小二乘估计量的方差。

４．简述多元回归模型的整体显著性检验决策规则。 答：（1）设定假设

原假设H0:?2??3????k?0 备择假设H1:?j不全为0，j＝2, 3, ?, k （2）计算F统计量 F?ESS/(k?1)

RSS/(n?k)

（3）在给定显著性水平?的条件下，查F分布表得临界值F?(k?1,n?k)。 （4）判断

如果F?F?(k?1,n?k)，则拒绝H0，接受备择假设H1。 如果F?F?(k?1,n?k)，则不拒绝H0。

5．对于多元线性回归模型，为什么在进行了总体显著性F检验之后，还要对每个偏回归系数进行是否为0的t检验。

答：多元回归模型的总体显著性就是对原假设H0:?2??3????k?0进行检验。检验的目的就是判断被解释变量Y是否与X2, X3, ?, Xk在整体上有线性关系。若原假设

H0:?2??3????k?0被拒绝，即通过了F检验，则表明Y与X2, X3, ?, Xk在整体上

有线性关系。但这并不表明每一个X都对Y有显著的线性影响，还需要通过t检验判断每一个回归系数的显著性。

６．对数线性模型的优点有哪些？ 答：对数线性模型的优点为

（1）对数线性模型中斜率系数度量了一个变量（Y）对另一个变量（X）的弹性。 （2）斜率系数与变量X，Y的测量单位无关，其结果值与X，Y的测量单位无关。 （3）当Y > 0时，使用对数形式LnY比使用水平值Y作为被解释变量的模型更接近经典线性模型。大于零的变量，其条件分布常常是有异方差性或偏态性；取对数后，虽然不能消除这两方面的问题，但可大大弱化这两方面的问题。

（4）取对数后会缩小变量的取值范围。使得估计值对被解释变量或解释变量的异常值不会很敏感。

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７．什么是回归模型的设定偏误？简要说明其后果。 答：多元回归模型的设定偏误主要包括以下三种： （1）回归模型中包含了无关解释变量 （2）回归模型中遗漏了重要解释变量 （3）回归模型中的函数形式设定偏误

后果为：（1）回归模型中包含了无关解释变量：回归系数的最小二乘估计量的方差非最小。

（2）回归模型中遗漏了重要解释变量：如果遗漏的变量与包含的变量相关，则

回归系数的最小二乘估计量是有偏误的，且非一致。

（3）回归模型中的函数形式设定偏误：不能得到有效估计和正确的经济解释。 五、计算题 1．解：（1）t统计量分别为

t???8.946 1

t???2.864

2

t???7.842

3t统计量的绝对值均大于2，样本量为30，据简便准则，各回归系数均通过了检验。

R2/(k?1)0.9552/(3?1)?（2）F? 22(1?R)/(n?k)(1?0.955)/(30?3)

=139.953

F?F0.05(2,27)?3.42

回归模型整体显著

（3）该地区劳动力投入每增加1%，产出将增加0.358%，资本存量每增加1%，产出将增加0.745%。

2．解：（1）R? （2）F?2ESS64.50??0.973 TSS66.30ESS/(k?1)

(TSS?ESS)/(n?k)64.50/(3?1)

(66.30?64.50)/(20?3)

? =304.583

F=304.583>F0.05(2,17)=3.59 所以回归模型整体显著 3．解：（1）t??=7.601

1

t??=4.55 2

t??=0.056 3

t??= -3.891 4 (PF)t-1的回归系数不显著，其它回归系数的︱t︱均大于2.12 ，其它回归系数均显著。 （2）理论上上期成本对本期工资水平有影响，但回归结果表明偏回归系数不显著，

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