历届全国初中数学联赛试题15套(7)

4．B

得 2(a+b+c)=p(a+b+c)．

∴有p=2或a+b+c=0．

当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限． 当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是

∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B． 5．C

在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图

∴a=1，2，3?9，共9个．

∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，?， 3×8+8．共8个．

∵9×8=72（个），故选C．

二、填空题

6．解 如图，过A作AG⊥BD于G，

∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”． ∴PE+PF=AG． ∵AD=12，AB=5， ∴BD=13．

7．解 如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，

∴S△OAB=S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O

8．解 如图，当圆环为3个时，链长为3a+

故a可取1，3或5．

10．解 如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x．

∴A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|．

三、解答题

11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，

∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠CED+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠CED．

于是Rt△ABE∽△CED，

又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等．

解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．

∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠FEH．

∴Rt△EHF∽Rt△BAE．

即EH=2h，

又∵HC=FH，

12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程

(2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得 a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2，

a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13， a16=(21a+13)2=441a2+546a+169 =987a+610．

a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597．

∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1， 即 (8a+5)(8a-13)=-1．

∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796．

13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是

W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10) =-800x+17200．

∴5≤x≤9．

∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数)

由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．

(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是

W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10) =-500x-300y-17200

∴W=-500x-300y+17200，

W=-200x-300(x+y)+17200

≥-200×10-300×18+17200=9800．

当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800． 又W=-200x-300(x+y)+17200

≤-200×0-300×10+17200=14200．

当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．

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