历届全国初中数学联赛试题15套(3)

周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？

三、（本题满分20分）

某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,??,15)个题的人数的一个统计.

n 0 1 2 3 ?? 12 13 14 15

做对n个题的人数 7 8 10 21 ?? 15 6 3 1

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案 一、选择题；

小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B C

二、填空题：

第二试提示及答案.

一、连结OA，OC，OP，OQ.证明△OCP≌△OAQ，于是 ∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆.

三、这个表至少统计了200人.

995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ]

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ]

A．62π B．63π C．64π D．65π

5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [ ]

A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定 6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]

A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0 二、填空题

1．在12，22，32?，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．

第二试

一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、

C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

1995年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有

c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a

＜25611＝(44)11＝b。选C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组

直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。

3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x1－x2｜＜1又

有0≤4－4m＜1．

4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在

且唯一．又由

AB2＋AD2 ＝252＋602

＝52×（52＋122） ＝52×132

＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2

故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．

5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选

B．其实，这只能排除A、C，不能排除D．

不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△

ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得

S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．

若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有

｜CE－DF｜＝2OL．

即M＝N．选B．

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