历届全国初中数学联赛试题15套(6)

经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．

一九九七年 第一试

一.选择题

本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题

(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;

(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

(3)a2的平方根是?a;

(4)大于直角的角一定是钝角.

(A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个.

答( )

2.已知

43?2?x?45?3,那么满足上述不等式的整数x的个数是

答( )

(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.

答( )

3.若实数a,b,c满足a2?b2?c2?9,代数式(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2的最大值是

(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.

答( )

4.给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是

(A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( )

5.在梯形ABCD中,AD?DC,?B?300,?C?600,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为

(A)4 (B)4

12 (C)5; (D)6. 答( )

6.如图,已知?A??B,AA1,PP1,BB1均垂直于

A1B1,AA1?17,PP1?16,BB1?20,A1B1?12,则AP+PB等于

（A）12； （B）13； （C）14； （D）15. 答( )

二、填空题

1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 .

2.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b?a(3a?8)的整数b的个数是 .

3.若a,b满足3a?5b?7,则S?22?3b的取值范围是 . 4.若正整数x, y满足x2?y2?1997,则x?y等于___________.

第二试

一.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点, PE垂直AC于点F, PF垂直BC于点F, PG垂直EF于点G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD=PC,试证:BC?BD,且BC=BD.

二.已知a,b为整数,且a?b,方程

3x?3(a?b)x?4ab?02

的两个根?,?满足关系式

?(??1)??(??1)?(??1)(??1)

试求所有的整数点对(a,b).

三.已知定理:“若三个大于3的质数,a,b,c满足关系式2a?5b?c,则a?b?c是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.

1998年全国数学联赛试卷

一、选择题：（每小题6分，共30分）

1、已知a、b、c都是实数，并且a?b?c，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）ab?bc（Ｂ）a?b?b?c（Ｃ）a?b?b?c（Ｄ）

2ac?bc

2、如果方程x?px?1?0?p?0?的两根之差是1，那么p的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5

3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）

（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知abc?0，并且

a?bc?b?ca?c?ab?p，那么直线y?px?p一定通过第（ ）

象限

（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组??9x?a?0?8x?b?0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b

的有序数对（a、b）共有（ ）

（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线y??2x?3与抛物线y?x相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程ax??3a?8a?x?2a?13a?15?0（其中a是非负整数），至少有一个整

22222数根，那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距102km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。

三、解答题：（每小题20分，共60分）

11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点AE为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△

EBFCCEF的面积。

12、设抛物线y?x??2a?1?x?2a?254的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）

求a18?323a?6的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18

台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

1998年全国初中数学联赛参考答案

一、选择题 1．B

根据不等式性质． 2．D

由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程 的两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=l．又由

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，

得l2=(-p)2-4．∴p2=5，

3．C

如图连ED，

又∵DE是△ABC两边中点连线．

故选C．

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