6．讲解：取a＝-1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有
｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．
显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有
两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即
有a＜0且a＋b＞0，从而b＞-a＞0．选B． 二、填空题
1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经计算12，22，?，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后，对两位数10a＋b，有
（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．
其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，?，95中个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19．
2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a
学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有
由②－①，得
由③－②并将④代入，得
还可由①得
⑥÷⑤即得所求．
3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数
因而x＝1时，y有最小值1．
4．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin
∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°．解法如下：
与AB2＝AB2＋AC2 ② 联立，可推出
而式①、③表明，AB、AC是二次方程
改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由
第二试
一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证S≥2T．
在这个题目的证明中，要用到AK ＝AL＝AD．
今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心（图7）．
其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、
FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后
证明其中两条垂线段相等．下面是几个有代表性的证法．
证法1：如图6，连DF，则由已知，有
连BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB，
得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．
由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心． 证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得
∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．
本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂．
由这个证明可知，F是△DCB的外心．
证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，
∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1
=45°+∠1 得∠1＝∠2．
从而∠DCF＝∠GCF， 得CF为∠DCE的平分线．
证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故 △CDE的外心I在直线DF上．
现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA＝CB＝CD＝d,则直线
AB是一次函数
y＝-x＋d ①
的图象（图9）．若记内心I的坐标为（x1，y1），则 x1＋y1＝CH＋IH
＝CH＋HB＝CB＝d
满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心．
还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证． 二、讲解：此题的原型由笔者提供．题目是：
于第一象限内，纵坐标小于横
坐标的格点．
这个题目的实质是解不等式
求正整数解．直接解，数字较繁．但有巧法，由
及1≤y＜x，
知1＋2＋?＋(x－1)＜1995＜1＋2＋?＋x．
但1953＝1＋2＋?＋62＜1995＜1＋2＋?＋62＋63＝2016，得x＝63，从而y＝21，所求的格点为(21，63)．
经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算．
有x2－x＋18≤10｜x｜．
当x≥0时，有x2－11x＋18≤0，
得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);
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