文刀川页丛书压轴题学习讲义（点的存在性问题）(3)

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形．

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∴NC?MB?MQ，NQ?AN?OM，?QNC??QMB?90°． 又∵OM?MP， ∴MP?QN， ∴△QNC≌△QMP， ∴?MPQ??NQC，

y L A Q C L1

又∵?MQP??MPQ?90°，∴?MQP??NQC?90°． O ∴?CQP?90°

（ii）当点Q与点B重合时，显然?PQC?90°． （iii）Q在线段AB的延长线上时，如图–5，

∵?BCQ??MPQ，∠1=∠2 ∴?CQP??CBM?90° 综合（i）（ii）（iii），?PQC?90°．

P B 23题图-1 x ，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． ∴在L1上存在点C(11)

y L A Q O O M P B 23题图-4 x N C L1

1 y L A C L1 B 2 Q P x 23题图-5

法三：由OA?OB?1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得则PQ?QC，所以OQ?QC，又L1∥x轴， △CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，

，． 则C，O两点关于直线L对称，所以AC?OA?1，得C(11)连PC，∵PB?|1?t|，OM?1tt，MQ?1?， 222∴PC?PB?BC?(1?t)?1?t?2t?2，

2222 我们共同努力！

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22?t??t?t22222OQ?OP?CQ?OM?MQ?????1????t?1．

2?2??2?∴PC2?OP2?QC2，∴?CQP?90°．

∴在L1上存在点C(11)，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． 7. （湛江市）28．已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，

O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将 △POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，

得到△PFD，使得直线PE、PF重合．

（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP?x，AD?y，当x为何值时，y取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标

C

O 图①

第28题图

P A x O P 图②

A x F D y E B y C F E D B △PAD均为等腰直角三角形， 解：（1）由题意知，△POC、0)C(0，、3)D(41)，设过此三点的抛物线为y?ax?bx?c(a?0)，可得P(3，、

2 我们共同努力！

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1?a??2?c?3?5??则?9a?3b?c?0??b??

2?16a?4b?c?1?? ??c?3?文刀川页丛书

?过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为y?125x?x?3 22（2）由已知PC平分?OPE，PD平分?APF，且PE、PF重合，则?CPD?90°

??OPC??APD?90°，又?APD??ADP?90° ??OPC??ADP． ?Rt△POC∽R△tDA．P

?OPOC?，ADAP

即

11414x3?y?x(4?x)??x2?x??(x?2)2?(0?x?4) ?33333y4?x当x?2时，y有最大值． （3）假设存在，分两种情况讨论：

①当?DPQ?90°时，由题意可知?DPC?90°，且点C在抛物线上，故点C与点Q重合，所求的点Q为（0，3）

②当?DPQ?90°时，过点D作平行于PC的直线DQ， 假设直线DQ交抛物线于另一点Q，

430)C(0，3)， ?点P(3，、y Q ?直线PC的方程为y??x?3，

将直线PC向上平移2个单位与直线DQ重合， ?直线DQ的方程为y??x?5

?y??x?5?x??1?x?4?由?得?或? 125y?6y?1y?x?x?3????22，，?Q(?1，．6) 又点D(41)C （Q） E B F D x O P A 第28题图

我们共同努力！

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8. （来宾市）26．（本小题满分12分）

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3)(?1，6)满足条件． 故该抛物线上存在两点Q(0，、当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．

（1）求该抛物线的关系式；

（2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小； （3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．

解：（1）由题意可设抛物线的关系式为y＝a(x－2)2－1

y 3 C E D F O B A x 因为点C（0，3）在抛物线上 所以3＝a(0－2)2－1，即a＝1 所以，抛物线的关系式为y＝(x－2)2－1＝x2－4 x＋3 （2）∵点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上 ∴y1－y2＝（x－4 x＋3）－[(x＋1)－4(x＋1)＋3]＝3－2 x

2

2

3当3－2 x＞0，即x?时，y1＞y2

23当3－2 x＝0，即x?时，y1＝y2

23当3－2 x＜0，即x?时，y1＜y2

2（第26题图）

（3）令y＝0，即x2－4 x＋3＝0，得点A（3,0），B（1,0），线段AC的中点为D（直线AC的函数关系式为y＝－x＋3

33,） 22因为△OAC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF与△OAC相似，△DEF也必须是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF＝45°，所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．

①当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为y?3 2由x?4x?3?234?104?10?3（舍去） ，解得x?，x?222

我们共同努力！

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将x?文刀川页丛书

4?104?102?10代入y＝－x＋3，得点E（，） 222②当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y＝x．

解x2－4 x＋3＝x，得x?5?135?13，x??3（舍去） 22

将x?5?135?131?13代入y＝－x＋3，得点E（，）

222y 3 C F O B E D F A x O B A x y 3 C E D （第26题图⑴）

（第26题图⑵）

9.（崇左市）25．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标

2)，点C(?1，0)， 轴上，且点A(0，2y?ax?ax?2经过点B． 如图所示：抛物线

y A （0，2） B （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使

（－1，0） C △ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存

在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（第25题）

x

解：（1）过点B作BD?x轴，垂足为D，

??BCD??ACO?90°，?ACO??CAO?90° ??BCD??CAO；

；CB?AC， 又??BDC??COA?90°?△BCD≌△CAO， ?BD?OC?1，CD?OA?2 3分

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