文刀川页丛书压轴题学习讲义（点的存在性问题）

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压轴题学习讲义

—点的存在性问题

1.（江津市）26.如图，抛物线y??x2?bx?c与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代y??x2?bx?c中

BAC??1?b?c＝0?b??2得? ∴?

?9?3b?c?0c?3??∴抛物线解析式为：y??x2?2x?3

(2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x??1对称 ∴直线BC与x??1的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵y??x2?2x?3， ∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为：y?x?3 Q点坐标即为??x??1的解

?y?x?3∴? ?x??1∴Q(－1，2) y?2?yCQBOAxBPyCAxEO(2)(3) 我们共同努力！

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（3）答：存在。理由如下：

设P点(x，?x2?2x?3) (?3?x?0) ∵S?BPC?S四边形BPCO?S?BOC?S四边形BPCO?若S四边形BPCO有最大值，则S?BPC就最大，

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9 211BE?PE?OE(PE?OC) 221133292722＝(x?3)(?x?2x?3)?(?x)(?x?2x?3?3)＝?(x?)?? 2222283927当x??时，S四边形BPCO最大值＝?

228927927?? ∴S?BPC最大＝?

28283153152 )) 当x??时，?x?2x?3?∴点P坐标为(?，2424∴S四边形BPCO＝SRt?BPE?S直角梯形PEOC ?22. （宁德市）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

我们共同努力！

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C1 y M A O P B x 文刀川页丛书

C1 y N A O P 图2 图（2）

B Q E F x C2 C3 C4 图1 图（1）

解：（1）由抛物线C1：y?a?x?2??5得顶点P的为（-2，-5）

2C1 C1 A y H O P 图(1) B G x P M A y N H B Q G E O K F x C2 C3 C4 图(2) 5

∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴0?a?1?2?2?5 解得，a＝

9（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G

∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG ∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3 ∴顶点M的坐标为（4，5）

抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到 ∴抛物线C3的表达式为y??5?x?4?2?5 9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到 ∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5

设点N坐标为（m，5） 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K ∵旋转中心Q在x轴上 ∴EF＝AB＝2BH＝6

∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）， 根据勾股定理得 PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104

我们共同努力！

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PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50 NF2＝52+32＝34

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①当∠PNF＝90o时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）

33102

②当∠PFN＝90o时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）

33③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o 综上所得，当Q点坐标为（直角三角形．

3. （莆田市）25．（14分）已知，如图1，过点E?0，?1?作平行于x轴的直线l，抛物线y?192

，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是33

12x上的两点A、B的横坐标分别为?1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B4分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．

（1）求点A、B、F的坐标； （2）求证：CF?DF； （3）点P是抛物线y?12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴4于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

F A O D l C E （图1）

x y B F O C E 备用图

（第25题图）

（1） 解:方法一，如图1，当x??1时,y?当x?4时,y?4

D x y 1

； 4

y B F A O C E 1??∴A??1，? B?4，4?

4??设直线AB的解析式为y?kx?b

D l x （图1）

我们共同努力！

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13???k?b?k?3??ABy?x?1 则? 解得 ∴直线的解析式为44?4???4k?b?4?b?1当x?0时,y?1 ?F?01，?

方法二:求A、B两点坐标同方法一,如图2,作

y B F A O C E G H M FG?BD,AH?BD,垂足分别为G、H,交y轴于点N,则四边形FOMG和四边形NOMH均为矩形,设FO?x

?△BGF∽△BHA

D l x （图2）

?BGFG4?x4? ?? 解得x?1

15BHAH4?4?F?0，1?

(2)证明：方法一：在Rt△CEF中，CE?1,EF?2

?CF2?CE2?EF2?12?22?5 ?CF?5 22222在Rt△DEF中，DE?4，EF?2 ?DF?DE?EF?4?2?20

?DF?25

由（1）得C??1，?1?，D?4，?1? ?CD?5 ?CD?5?25

22?CF2?DF2?CD2 ??CFD?90° ?CF⊥DF

55?3?方法二：由 （1）知AF?1????，AC?

44?4??AF?AC 同理：BF?BD ??ACF??AF C?AC∥EF ??ACF??CF O??AFC??CFO 同理：?BFD??OFD ??CFD??OFC??OFD?90°即CF⊥DF

（3）存在.

解：如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M

y P 2 F 我们共同努力！ O C E M l D 图3

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