文刀川页丛书压轴题学习讲义（点的存在性问题）(2)

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PMOMPQPM?? ?PQOPOPOM文刀川页丛书

△OPM∽R△tOQ P又?PQ⊥OP ?Rt?设P?x，x2??x?0?，则PM???14??12x，OM?x 4①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，

12xPQCF51PM41??? ?，?? 解得x?2 ?P? 1?21OPDF252OMx2②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时，

12xPQDF25PM4???2 ?16??2 解得x?8 ?P2?8，? OPCFOMx5综上，存在点P，，?使得△OPQ与△CDF相似. ?、P2?8161?214. 如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

我们共同努力！

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解：（1）Q（1，0）

点P运动速度每秒钟1个单位长度．

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（2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF?BE?4． ∴AF?10?4?6．

在Rt△AFB中，AB?82?62?10

过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． ∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH． ∴BH?AF?6,CH?BF?8． ∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12． ∴所求C点的坐标为（14，12）．

（2） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF． ∴

APAMMPtAMMP． ?． ????ABAFBF1068AMFONQPHGxyDCBE3434 ∴AM?t，PM?t． ∴PN?OM?10?t,ON?PM?t．

5555设△OPQ的面积为S（平方单位）

13473∴S??(10?t)(1?t)?5?t?t2（0≤t≤10）

251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

473<0 ∴当t??时， △OPQ的面积最大． ?36102?(?)104710 ∵a?? 此时P的坐标为（

9453，） ． 15105295（4） 当 t?或t?时， OP与PQ相等．

3135. （广州市）25.（本小题满分14分）

如图13，二次函数y?x?px?q(p?0)的图象与x轴交于

2 我们共同努力！

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（1）求该二次函数的关系式；

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5。 4A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=设A（a,0）,B(b,0) AB=b-a=

55,得AB= 42(a?b)2?4ab=2533，解得p=?,但p<0,所以p=?。 2223x?1 23112（2）令y=0，解方程得x?x?1?0，得x1??,x2?2,所以A(?,0),B(2,0),在直

222所以解析式为：y?x?角三角形AOC中可求得AC=

5,同样可求得BC=5,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC2555,所以??m?. 244是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=

（3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设

3?2y?x?x?1?BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组?2??y??2x?4得D（?5,9） 2②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为

3?2y?x?x?11?y=0.5x+b，把 A(?,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组?得22??y?0.5x?0.25D(

53,) 22综上，所以存在两点：（?

553,9）或(,)。 222 我们共同努力！

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6. （梅州市）23．本题满分 11 分．

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1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直如图 12，已知直线L过点A(0，平分线交L于点Q，交x轴于点M．

（1）直接写出直线L的解析式；

（2）设OP?t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0?t?2y 时，S的最大值； L （3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C， 使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． 解：

（1）y?1?x

（2）∵OP?t，∴Q点的横坐标为①当0?A Q L1

O M P B 图12 x 1t， 2111?1?t?1，即0?t?2时，QM?1?t，∴S△OPQ?t?1?t?． 222?2?②当t≥2时，QM?1?1?111?t?t?1，∴S△OPQ?t?t?1?．

2?222??1?1?0?t?2，?2t?1?2t?，???∴S??

?1t?1t?1?，t≥2.?????2?2当0?11?1?11t?1，即0?t?2时，S?t?1?t???(t?1)2?， 22?2?441． 4∴当t?1时，S有最大值

（3）由OA?OB?1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得

△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ?QC，所以OQ?QC，又L1∥x轴，，． 则C，O两点关于直线L对称，所以AC?OA?1，得C(11)y 我们共同努力！ L A Q C 9 L1

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下证?PQC?90°．连CB，则四边形OACB是正方形． 法一：（i）当点P在线段OB上，Q在线段AB上 （Q与B、C不重合）时，如图–1．

由对称性，得?BCQ??QOP，?QPO??QOP， ∴ ?QPB??QCB??QPB??QPO?180°， ∴ ?PQC?360°?(?QPB??QCB??PBC)?90°．

（ii）当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图–2，如图–3 ∵?QPB??QCB，?1??2， ∴?PQC??PBC?90°． （iii）当点Q与点B重合时，显然?PQC?90°． 综合（i）（ii）（iii），?PQC?90°．

，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． ∴在L1上存在点C(11)

法二：由OA?OB?1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得

O y L A Q 2 1 y L C A L1 1 C L1 O x B P B 23题图-2 2 Q P x 23题图-3

QQ?C则P△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，

，所以OQ?QC，又L1∥x轴，

，． 则C，O两点关于直线L对称，所以AC?OA?1，得C(11)延长MQ与L1交于点N．

（i）如图–4，当点Q在线段AB上（Q与A、B不重合）时， ∵四边形OACB是正方形，

∴四边形OMNA和四边形MNCB都是矩形，△AQN和△QBM都是等腰直角三角

我们共同努力！

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