《高等数学（一）》复习资料-姜作廉(4)

12. limtanx?sinx?__________. 3x?0sinx★考核知识点: 洛必达法则求极限，参见P90-95

附2.1.12（考核知识点解释及答案）：

如果函数f(x)和g(x)满足以下三个条件: (1)limf(x)?0, limg(x)?0;

x?x0x?x0(2) f(x)和g(x)在点x0的某去心邻域内可导,且g?(x)?0; (3) limx?x0f?(x)存在(或无穷大). g?(x)f(x)存在(或无穷大),且 g(x)则极限limx?x0x?x0limf(x)f?(x)?lim g(x)x?x0g?(x)这种求极限的方法称为洛必达法则.法则中的x?x0改为x??后法则仍成立.

答案：。

13. 设y?(x2?3)3，则dy?_____________. ★考核知识点: 微分计算，参见P74-79 附2.1.13（考核知识点解释及答案）：

函数y?f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数y?f(x)在点x0可导，且当

y?f(x)在点x0可微时，其微分一定是：

12dy?f?(x)dx

dy?f?(x) dx即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.

答案：6x(x2?3)2dx。

14. 设y?2x2?ax?3在点x=1取得极小值，则a?_____________. ★考核知识点: 极值的确定，参见下册P98-101 附2.1.14（考核知识点解释及答案）：

确定极值点?

(1)求出函数的定义域和导数f?(x)?

(2)求出f(x)的驻点和不可导点?

(3) 令f?(x)?0。如函数存在二阶导数,可根据第二充分条件判定。

答案：?4。

15. 曲线 y?x3?3x2?4x的拐点坐标为______________. ★考核知识点: 求拐点，参见P108-109

附2.1.15（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

如果f(x)的二阶导数f??(x)在x0的左右两侧变号，则(x0,f(x0)) 就是拐点。

计算过程如下：

f??(x)?6x?6?0, x=1, f(1)=2

答案：(1,2)。

（二）、计算题 1. 求y?ecos1x 的导数.

★考核知识点: 导数计算，参见P56-63

附2.2.1（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

复合函数的求导法则:

若函数u?g(x)在点x处可导, 而y?f(u)在点u?g(x)处可导, 则复合函数

y?f[g(x)]在点x处可导, 且其导数为

dy?f?(u)?g?(x) dx或

dydydu ??dxdudx 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.

初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则。

基本的求导公式 c??0 (c为常数) (x?)???x??1 (?为实数) (ax)??axlna (ex)??ex (logax)??1 xlna(lnx)??1 x(sinx)??cosx (cosx)???sinx (tanx)??sec2x 基本初等函数求导公式 (cotx)???csc2x (secx)??secxtanx (cscx)???cscxcotx (arcsinx)??(arccosx)???11?x11?x22 (arctanx)??1 1?x21 1?x2(arccotx)??? 上述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里为了方便我们再次给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。

参考答案：

?1cos?cos1?1y???ex??ex(cos)??x???ecos1x

111cos1(?sin)()??2exsin.xxxx1

2. 求由方程xy?ex?ey?0确定的隐函数y?y(x)的导数。 ★考核知识点: 隐函数求导，参见P69-71

附2.2.2（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

隐函数的导数：

假设由方程F(x,y)?0所确定的函数为y?y(x)，则把它代回方程F(x,y)?0中，得到恒等式

F(x,f(x))?0

利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数

dy，这就是隐函数求导法. dx

导数的四则运算法则：

如果函数u?u(x)及v?v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且 （1） ?u(x)?v(x)??u'(x)?v'(x)； （2） ?u(x)v(x)??u'(x)v(x)?u(x)v'(x)；

?u(x)?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)?0（3） ? (v(x) )??2v(x)v(x)??'''参考答案：

对原方程,两边关于x求导,其中y=y(x),有

y?xy??ex?ey?y??0

ex?yy??y。

e?x

3. 求y?(lnx)x 的导数.

★考核知识点: 导数计算，参见P56-63

附2.2.3（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

对数求导法：

形如y?u(x)v(x)的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法.

基本初等函数的导数公式

①C??0(C为常数）； ② (xn)??nxn?1(n?R但不为零）；

1③(ex)??ex； ④ (lnx)??；

x⑤(sinx)??cosx； ⑥ (cosx)???sinx；

1. ⑦(ax)??axlna； ⑧ (logax)??xlna

参考答案：

x?xlnlnxy???)??exlnlnx(xlnlnx)???(lnx)???(e?(xlnx)x(lnlnx?x(lnlnx)?)?(lnx)x(lnlnx?

1)lnx

4. 求由方程xy?yx确定的隐函数y?y(x)的导数。 ★考核知识点: 隐函数求导，参见P69-71 附2.2.4（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

隐函数的导数：

假设由方程F(x,y)?0所确定的函数为y?y(x)，则把它代回方程F(x,y)?0中，得到恒等式

F(x,f(x))?0

利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数

dy，这就是隐函数求导法. dx对数求导法：

形如y?u(x)v(x)的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法.

参考答案：

原方程化为eylnx?exlny,两边对x求导,其中y=y(x),有

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