《高等数学（一）》复习资料-姜作廉(2)

9．若 f(x)?esinx,则f?(0)?（ ）。

（A）-1； （B）0； （C）1； （D）2

★考核知识点: 复合函数微分法，参见P61-63 附1.1.9（考核知识点解释及答案）：

初等函数的求导法则：

函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则。

若函数u?g(x)在点x处可导, 而y?f(u)在点u?g(x)处可导, 则复合函数

y?f[g(x)]在点x处可导, 且其导数为

dy?f?(u)?g?(x) dx或

dydydu ??dxdudx 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来.

答案：（C）0 。

10．若 f(x)?e?x,则f??(0)?（ ）。 （A）-2； （B）-1； （C）1； （D）2

★考核知识点: 二阶导数计算，参见P65-68 附1.1.10（考核知识点解释及答案）：

求高阶导数的方法：

求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数（间接法）.

答案：（A）-2。

21?x为（ ）。 1?x（A）奇函数； （B）偶函数； （C）指数函数； （D）周期函数 ★考核知识点: 函数的性质，参见P4-7 附1.1.11（考核知识点解释及答案）：

11．函数f(x)?lg函数的奇偶性：

设f(x)的定义域为D，对?x?D，如果 ( i) f(?x)?f(x)，则称该函数为奇函数； (ii) f(?x)??f(x)，则称该函数为偶函数．

函数的周期性：

设函数f(x)的定义域为D，如果存在T≠0， 使得对?x?D，总有

f(x?T)?f(x)

则称 f(x)为D上的周期函数， T为 f(x)的一个周期．

通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期

答案：（A）奇函数。

112．函数f(x)?xcos (x?0)为（ ）。

x（A）零函数； （B）无穷大量； （C）无穷小量； （D）常数

★考核知识点: 无穷小与无穷大，参见P25-27 附1.1.12（考核知识点解释及答案）：

当x?x0时，如果函数f(x)的绝对值大于任意预先给定的正数 M ，则我们称函数f(x)为当x?x0时的无穷大量，记为limf(x)??。

x?x0若limf(x)?0，则称函数f(x)在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。

x?x0

答案：（C）无穷小量。

13．函数f(x)?tanx|在x=0处（ ）。

（A）间断； （B）可导； （C）可微； （D）连续

★考核知识点: 连续与可导性，参见P40-46 附1.1.13（考核知识点解释及答案）：

函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.

答案：（D）连续。

14．若 f(x)?lnx?12。 ,则f?()?（ ）

x?12（A）2； （B）-2； （C）4； （D）-4

★考核知识点: 复合函数微分法，参见P61-63 附1.1.14（考核知识点解释及答案）：

基本初等函数的导数公式

①C??0(C为常数）； ② (xn)??nxn?1(n?R但不为零）；

1③(ex)??ex； ④ (lnx)??；

x⑤(sinx)??cosx； ⑥ (cosx)???sinx；

1. ⑦(ax)??axlna； ⑧ (logax)??xlna若函数u?g(x)在点x处可导, 而y?f(u)在点u?g(x)处可导, 则复合函数

y?f[g(x)]在点x处可导, 且其导数为

dy?f?(u)?g?(x) dx或

dydydu ??dxdudx 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

答案：（C）4。

15．若 f(x)?ln(1?x2),则f??(0)?（ ）。

（A）-2； （B）-1； （C）1； （D）2

★考核知识点: 二阶导数计算，参见P65-68 附1.1.15（考核知识点解释及答案）：

求高阶导数的方法：

求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数（间接法）.

导数的四则运算法则：

如果函数u?u(x)及v?v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且 （1） ?u(x)?v(x)??u'(x)?v'(x)； （2） ?u(x)v(x)??u'(x)v(x)?u(x)v'(x)；

?u(x)?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)（3） ? (v(x) )?0??2v(x)v(x)??'''

答案：（A）-2。

二、主观部分： （一）、填空部分

2x?1的定义域是_________________. 7★考核知识点: 函数的概念，参见P1-6

附2.1.1（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

1. 函数y?arcsin函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：

设D是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则f，使得对?x?D，都有唯一的实数y与之对应，就称f确定了一个一元函数，通常记为y?f(x)，称x为自变量，y为函数（因变量），D为定义域，函数值的集合称为值域．

函数表示的通常方式为公式法，自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法

计算过程如下：?1?

答案：[?3,4]。

2x?1?1 7

x?tanx?__________.

x?0x3★考核知识点: 洛必达法则求极限，参见P90-95 附2.1.2（考核知识点解释及答案【解答过程】）：

2. lim如果函数f(x)和g(x)满足以下三个条件: (1)limf(x)?0, limg(x)?0;

x?x0x?x0(2) f(x)和g(x)在点x0的某去心邻域内可导,且g?(x)?0; (3) limx?x0f?(x)存在(或无穷大). g?(x)f(x)存在(或无穷大),且 g(x)则极限limx?x0x?x0limf(x)f?(x)?lim x?x0g?(x)g(x)这种求极限的方法称为洛必达法则.法则中的x?x0改为x??后法则仍成立.。

1答案：?。

3

3. 设函数f(x)?arctanx?e，则f?(x)=_________. ★考核知识点: 复合函数微分法，参见P61-63 附2.1.3（考核知识点解释及答案）：

若函数u?g(x)在点x处可导, 而y?f(u)在点u?g(x)处可导, 则复合函数

y?f[g(x)]在点x处可导, 且其导数为

2x3dy?f?(u)?g?(x) dx或

dydydu ??dxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

导数的四则运算法则：

如果函数u?u(x)及v?v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且

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