2013届高考数学知识点总结 2(5)

2012年高考数学（理科）基础知识归纳

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（3）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面．．．．．．．．．平行）

②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）

③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 三、 平面平行与平面垂直.

1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.

2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.

3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）

4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）

注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.

5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线

P也垂直于另一个平面.

?推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. ?BMA证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l1,l2，

O因为PM??,OA??,PM??,OB??则PM?OA,PM?OB. θ五、 空间几何体

.异面直线所成角的求法：

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

.直线与平面所成的角（立体几何中的计算可参考空间向量计算） .二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 .空间距离的求法

（ ）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；

求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解； 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.

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.直棱柱的侧面积和全面积

S直棱柱侧= c? (c表示底面周长，?表示侧棱长) 棱锥的体积:V棱锥=

S棱柱全=S底+S侧

1Sh，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。 343.球的体积公式V=?R3，表面积公式S?4?R2；

排列组合二项定理

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理. 二、排列.

1. ?对排列定义的理解.

定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同．．．．．．元素中取出m个元素的一个排列. ?相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

?排列数.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的

m一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.

?排列数公式： Am?n(n?1)?(n?m?1)?n!(m?n,n,m?N)

(n?m)!注意：n?n!?(n?1)!?n! 规定0! = 1

mmmm?1mm?110 Anm?nAnm?? 规定Cn?CnAn?n?1 1?An?Am?Cn?An?mAn1三、组合.

1. ?组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

Amn(n?1)?(n?m?1)n?组合数公式：C?m?m!AmmnCmn?n!

m!(n?m)!?两个公式：①Cn?Cmn?mn; ②Cm?1mmn?Cn?Cn?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，

m1m?1?C1分二类，一类是含红球选法有Cm?n1?Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元

素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元

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素，所以有C

m?1n，如果不取这一元素，则需从剩余

n个元素中取出m个元素，所以共有

mm?1mmCn种，依分类原理有Cn?Cn?Cn?1.

?排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是―排成一排‖，后者是―并成一组‖，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式

012nCn?Cn?Cn???n?2 n024135Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1mmmm?1Cm?C?C?C?Cnm?1m?2m?nm?n?1k?1kCk?nCnn?1

11?1Ck?Cknn?1k?1n?1②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：

n?111123n1（利用?????1???）

n!(n?1)!n!2!3!4!(n?1)!(n?1)!33334m?1mC3?C4?C5??Cn?Cn?1. . 递推法（即用Cmn?Cn?Cn?1递推）如：

四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们―局部‖的排列.它主要用于解决―元素相邻问题‖，例如，一般地，n个不同元素排成

?m?1mn?m?1一列，要求其中某m(m?n)个元素必相邻的排列有Ann?m?1?Am个.其中An?m?1是一个―整体排

列‖，而Amm则是―局部排列‖.

22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An. ?An?11?A2?12. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有Ann?1?A22?1③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An. ?Ann?1注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任2取的2个，有不确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决―元素不相邻问题‖.

?mm例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An（插n?m?An?m?1第 23 页 共 31 页

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空法），当n – m+1≥m, 即m≤n?1时有意义.

2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用―先特殊后一般‖的解题原则.

例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）An/Am. ⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

nnCkn?C(k?1)nn?CnnmAkk.

C2例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有4?3（平均分组

2!就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P?82C18C210C20/2!）

注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有An?m?An?m?1/Am，当n – m+1 ≥m, 即m≤n?1时有意义.

n?mmm2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1?x2?x3?x4?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1?x2?x3?x4?12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 x2 x 3 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板x1x43的方法数C11.

注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,.an..中ai等于xi?1，有x1?x2?x3...?xn?A?a1?1?a2?1?...an?1?A，进而转化为求a的正整数解的个数为

n?1CA?n .

2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组r均匀分组应再除以Ak. k例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C10C8C4/A2?1575.若分成

122224六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C10C91C8C6C4C2/A22?A4

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②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A?Am m例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：

233C10?C8?C55?A3种.

若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有

234C10C8C5?A33种

③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其

m分法种数为A/Ar. r?Am244C10C8C43?A3 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为

A22④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为Am2mk1C?CmC…n-m1nn-(m1?m2?...?mk-1)

235例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C10C8C5?2520若从10人中选3出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C101C92C7?12600.

五、二项式定理.

0n01n?1rn?rrn0n1. ?二项式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.

展开式具有以下特点： ① 项数：共有n?1项；

012r,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn② 系数：依次为组合数Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

?二项展开式的通项.

（a?b)n展开式中的第r?1项为：Tr?1?Cnarn?rrb(0?r?n,r?Z).

?二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项―等距离‖的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．．nI. 当n是偶数时，中间项是第?1项，它的二项式系数C2n最大； 2n?1n?1II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第它们的二项式系数C?1项，

22最大.

n?1n?12?C2nnn③系数和：

01nCn?Cn???Cnn?202413Cn?Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1

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