2013届高考数学知识点总结 2(3)

2012年高考数学（理科）基础知识归纳

????运算律：?加法交换律：a?b?b?a ???????加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

?????数乘分配律：?(a?b)??a??b

3 共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平

????行向量．a平行于b记作a//b．

??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是

同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论：

??????共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，??使a＝λb.

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

??OP?OA?ta．

其中向量a叫做直线l的方向向量. 5．向量与平面平行：

???????已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量??a平行于平面?，记作：a//?．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：

?????如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使

???p?xa?yb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使?????????????????????????????MP?xMA?yMB或对空间任一点O，有OP?OM?xMA?yMB ① ①式叫做平面MAB的向量表达式 7 空间向量基本定理：

????如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组

????x,y,z，使p?xa?yb?zc 推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个

????????????????有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC 8 空间向量的夹角及其表示：

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?????????????已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与

?????????b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；若

????????a,b??，则称a与b互相垂直，记作：a?b.

29．向量的模：

???????????设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|. ??????10．向量的数量积： a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．

??????已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，??????????作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.

??????????????????可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|．

11．空间向量数量积的性质：

?????2???????（1）a?e?|a|cos?a,e?．（2）a?b?a?b?0．（3）|a|?a?a．

12．空间向量数量积运算律：

?????????????????（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．（2）a?b?b?a（交换律）（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）．

空间向量的坐标运算

一．知识回顾：

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则

a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3

a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a1a2a3 a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 ??b1b2b3a?a?a?a12?a22?a3????a?bcos?a,b?????|a|?|b|2(用到常用的向量模与向量之间的转化：a2?a?a?a?a?a)

a1b1?a2b2?a3b32a12?a22?a3?b122?b22?b3

②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.

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（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|.

②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，

n1,n2则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使AB??CD??CE.（常设AB??CD??CE求解?,?若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相交）.

An▲BB??CA▲n1CDEn2??

不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念

不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. 2.不等式的基本性质

（1）a?b?b?a（对称性）

（2）a?b,b?c?a?c（传递性）

（3）a?b?a?c?b?c（加法单调性）

（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减） （6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

(9)a?b?0,0?c?d?ab（异向不等式相除） ?cd(10)a?b,ab?0?11（倒数关系） ?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则）

（12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法则） 3.几个重要不等式

（1）若a?R,则|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 ab?a?b.（当仅当a=b时取等号）

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极值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号）

ab(6)a?0时，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a

（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

1111111常用不等式的放缩法：①???2???(n?2)

nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?122(a1?n?n?1(n?1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;则2a2（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)???aaaa当且仅当1?2?3???n时取等号b1b2b3bn2a3???2an)(b122?b22?b32??bn)不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

不等式的解法

直线和圆的方程

一、直线方程.

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是

0????180?(0????).

注：①当??90?或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ?两条直线平行：

l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2?k1?k2，且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分条件，且C1?C2） 推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. ?两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1这

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里的前提是l1,l2的斜率都存在. ②l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在. （即A1B2?A2B1?0是垂直的充要条件）

. 点到直线的距离：

?点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有

d?Ax0?By0?CA?B22.

注：

1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.

特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|?x2?y2

2. 直线的倾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan? 3. 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k?当x1y2?y1.

x2?x1(x1?x2)

?x2,y1?y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角?＝90?，没有斜率 王新敞

?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它们之间的距离为d，则有d?C1?C2A?B22.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 二、圆的方程.

如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2. 3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .

?DE?当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??，半径r?2??222D2?E2?4F.

2当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???DE?,??. 22??当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）.

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