2012年高考数学（理科）基础知识归纳
注：①圆的参数方程：??x?a?rcos?（?为参数）.
y?b?rsin??③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2.
①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圆C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d?①d?r时，l与C相切；
22??x?y?D1x?E1y?F1?0?相减为公切线方程. 附：若两圆相切，则?22??x?y?D2x?E2y?F2?0Aa?Bb?CA?B22.
②d?r时，l与C相交；
附：公共弦方程：设 C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0 C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0. ③d?r时，l与C相离.
??(x?a)2?(y?b)2?r2由代数特征判断：方程组?用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，
??Ax?Bx?C?0其判别式为?，则：
??0?l与C相切； ??0?l与C相交； ??0?l与C相离.
一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.
圆锥曲线方程
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
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PF1?PF2?2a?F1F2方程为椭圆,PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹,PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段
?①椭圆的标准方程：
i. ii.
中心在原点，焦点在x轴上：xa22?y2b22?1(a?b?0). x2b2?1(a?b?0).
ii. 中心在原点，焦点在y轴上：y22a2?
?y2b2②一般方程：Ax?By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：
x2a2?1的参数方程为
?x?acos??（一象限?应是属于0???）. ?2?y?bsin??①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③
焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：F1F2?2c,c?a?ba2c.⑥离心率：e?(0?e?1). y??ca22a2.⑤准线：x??或
c⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d?二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为双曲线PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹2b2a2b2b2(?c,)和(c,)
aa
PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线?①双曲线标准方程：
Ax2?Cy2?1(AC?0).
x2a2?y2b2?1(a,b?0),y2a2?x2b2?1(a,b?0). 一般方程：
?①i. 焦点在x轴上：
a2xy顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x?? 渐近线方程：??0或
cabx2a2?y2b2?0
c2a2②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?. ④准线距
ca2b2c（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系c2?a2?b2,e?. ⑥焦点半径公式：对于双曲
aa线方程
x2a2?y2b2?1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
?等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2. ?共渐近线的双曲线系方程：
x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为
x2a2?y2b2?0如果双曲线的
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4321F2xF1532012年高考数学（理科）基础知识归纳
x2y2xy渐近线为??0时，它的双曲线方程可设为2?2??(??0).
abab例如：若双曲线一条渐近线为y?11x且过p(3,?)，求双曲线的方程？ 221x2x2y22解：令双曲线的方程为：?y??(??0)，代入(3,?)得??1.
8242?直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐“?”近线求交和两根之和与两根之积同号. 三、抛物线方程.
3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
x2??2py y2??2px x2?2py y2?2px 图形 ▲y▲y▲y▲yxOxOxOOx 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 pF(,0) 2x??p 2x?0,y?R F(?x?p,0) 2 pF(0,) 2p 2x?R,y?0 y?? F(0,?y?p) 2 p 2x?0,y?R p 2x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） e?1 PF?p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 22②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
2③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2?x?2pt④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2y?2pty?2pt??22四、圆锥曲线的统一定义..
：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
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定义 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
立体几何
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平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行） 一、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（3）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a、b异面，a平行于平面?，b与?的关系是相交、平行、在平面?内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（3）（并非是从平面外一点向这个平面所引．．的垂线段和斜线段）
⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若a?b，则a,b的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围???0?,180??）
1 2 1 （直线与直线所成角???0?,90??）
2 （斜线与平面成角???0?,90??） 方向相同 方向不相同 （直线与平面所成角???0?,90??）
（向量与向量所成角??[0?,180?])
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
二、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线a与平面?内一条直线平行，则a∥?. （3）（平面外一条直线） ②直线a与平面?内一条直线相交，则a与平面?相交. （3）（平面外一条直线） ③若直线a与平面?平行，则?内必存在无数条直线与a平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （3）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行.（3）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（3）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l与平面?、?所成角相等，则?∥?.（3）（?、?可能相交） 3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）
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