数列极限求法及其应用 毕业论文(5)

证明：?an?收敛，并求其极限.

解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 0?an?c,?n?1,2...?. 事实上,0?a1??c.假设0?an?c?1，

2cancc2cc则0?an?1???????c.

222222c2cx2令f?x???，则f??x??x.

22an?1?an?f?an??f?an?1??f?????an?an?1

＝??an?an?1?can?an?1， （1）

其中?介于an和an?1之间.由于0?c?1,再由（1）式知?an?为压缩数列，

an?l,则?l?c. 故收敛.设limn??c2由于

2can an?1??，

22所以

cl22 l??,l?2l?c?0.

22解得l?1?1?c（舍去），l?1?1?c. 综上知liman?1?1?c. n??注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.

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第三章 数列极限在现实生活中的应用

3.1 几何应用-计算面积

在论文开始时，我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积，现在我们再来介绍如何求抛物线x?y2与两直线y?0和x?1所围的面积.

1??12??n?1?先将区间?0,1?等分为n个小区间?0,...?,1?，以这些小??，?,?，，?n??nn?2?n??1?区间为底边，分别以0，???n?2?2??n?1?，，，...????为高，作n个小矩形. ?n??n?2这n个小矩形的面积之和是

?i?1?11n An??????3???i?1? n?nni?1i?1?n221n?121?n?1?n?2n?1? ＝3??i?3

ni?1n6 ＝?131?1?1???. 2n?3n?这样我们就定义一个数列?An?，对每个An而言，它都小于欲求的“面积”，但是这两者之间的差别不会大于长为1,宽为的矩形面积，即，所以，当n越来越大时，An将越来越接近于欲求的“面积”，因此，我们可以定义此面积为

An?. limn??131n1n

这种定义面积并求面积的方法简单又朴素，它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分：积分学.

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3.2 求方程的数值解

我们都知道，2是无理数.目前的问题是如何用有理数来逼近

2，以达到事先指定的精确度？2是二次方程x2?2?0的正根，所

以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”.

把问题提得更一般一些.设a?0是任意给定的，我们来求a的近似值.给定a的一个近似值x0?0，在两个正数x0,a中，一定有一个x0大于a另一个小于a，除非x0正好就是a.有理由指望这两个数的

1a算术平均值x1??x0??可能更加靠近a，这便得到了更好的近似.

2x?0???事实上

2x0?a?2x0a??x0?a??0. x1?a??x0???a???2x2x2x21??a?011?00这表明：不论初值x0如何，得出的第一次近似值x1是过剩近似值.不妨设初值x0本身就是过剩近似值，因此x0?x0?a?0.由此得出 0?x1?a?x?a11x0?a0?x0?a. 2x02????这个不等式告诉我们：第一次近似值x1到a的距离至多是初值x0到

a的距离的一半.

...,xn，...，其中 重复施行上述的步骤，便产生数列x0，x1，* xn??xn?1??，n?N， 2x1??a?n?1?由

0?xn?a?

111xn?1?a?2xn?2?a?...?nx0?a， 222??????18

可见limxn?a.对于充分大的n，数xn与a的距离要多小有多n??小.

让我们看看实际应用起来有多方便，设想我们需求2的近似值.取初值x0?2（这是相当粗糙的近似值），反复迭代的结果是

x0?2.0,x1?1.5,x2?1.4166???，x3?1.4142566???，x4?1.41421356???，x5?1.41421356???，

这已是相当精确的近似值. 3.3 市场经营中的稳定性问题

投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素，以股票为例，为尽量避免出现羊群行为，减少非理性投资，我们需要对股票的内在价值（即未来收入现金流的现值）有较清晰的认识，从而决定是该购买还是该售出，作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值. 3.3.1 零增长模型

假定股利增长率为0,因其内在价值如下

?DtDtD1D2??...??...? V? . （1） ?tt1?i1?1?i2?2i?1?1?it??1?it?（V-内在价值，D?股息(红利)，i?贴现率）， 现由假定知 D?D1?D2?...?Dt，i?i1?i2?...?in， 所以此时股票内在价值为

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?DDDD?...??...? V?? ?tt1+i?1+i?2t?1?1+i??1+i?tD??1??1??????1?i??1?i????D. （2） ＝limt??1i1?1?i知道股票的内在价值后，可求出其净现值?NPV?，即内在价值减去市场价格，也即：

NVP?V?P.

当NVP?0，该股票被低估，可买入；当NVP?0，被高估，不益购买. 例：某公司在未来无限期支付每股股利为8元，现价65元，必要收益率10%，评价该股票.

解：利用（2）式结论可求得该股票的内在价值为： V?D8??80，NVP?V?P?80?65?15?0. i10%故该股票被低估，可以购买. 3.3.2 不变增长模型

假定股利永远按不变增长率?g?增长，即 Dt?Dt?1?1?g??...?D0?1?g?， 代入（1）式得此时内在价值为

D0?1?g?ttV??t?1?Dt?1+it?t??t?1??1+i?tD0?1?g???1?g?1?????1?i??1?i??limt??1?g1?1?it???D?1?g?D??0?1.（3） i?gi?g例：去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每

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