数列极限求法及其应用 毕业论文(4)

sinlimn???n?sin2??...?sin?n1????2???n?lim????sin?sin?...?sin???n??n?1?n?1nn???n???sin?sin?...?sin? ?lim????n???nn???n?1???2??

?1???0sinxdx?2?，

类似地 limsin?n?sinn??2??...?sin?n 1n?nn21????2???2??sin?sin?...?sin? ?lim????， n??n2?1??nnn?????由夹逼准则知

?2???sinsin?n?...?sin???2 . lim?n?n??11??n?1?n?n??2n??注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz公式法 Stoltz公式，nlim???nyny?yn?1?a?limn.在求某些极限时非常方便，尤其n???x?xxnnn?1是当yn??ak时特别有效.

k?1例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明. 证明：前面用??N定义法证明，现用Stoltz公式证明. 令yn?a1?a2?...?an,xn?n，则由Stoltz公式得到

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a1?a2?...?ann??n

a1?a2?...?an???a1?a2?...?an?1???limn??n??n?1?lim ?liman?liman?a. n??1n??1k?2k?...?nk例2.7.2 求nlim. ???nk?11k?2k?...?nknk?limk?1解： nlim （Stoltz公式） k?1k?1???n???nn??n?1? ＝nlim??? ＝

nkCn?Cn1kk?12k?1k?1?...???1?k?1 （二项式定理）

11?. 1Ckk?1?12.8 几何算术平均收敛公式法

上面我们用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多n*，类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. 例2.8.1 同例2.1.1一样求limna，其中a?0.

n??*n解：令a1?a,a2?a3?...?an?1,由定理1.2.4（2）知 limna?liman?1.

n??n??例2.8.2 同例2.3.2一样求limnn. n??n?n?2,3,...?,由定理1.2.4（2）知 n?1nn limn?liman?lim?1. n??n??n??n?1解：令a1?1，an?例2.8.3 同例2.6.1相似求limn??n1??n?1?解：令an??,则 1????nn?n?nnn. n! 12

n?1??213243 a1?a2????an?1?22?33????nn

n ＝所以

?n?1?n!nnn?n?1???. n!nnn na1?a2????an?也即nnn?1， ?nnn!nn，而由定理1.2.4（2）知 ?na1?a2????an?n?1n!n?1?na?a????a?lima?lim1? lim12nn???e. n??n??n??n??故

limn??nnnn?limna1?a2????an??e?lim?e. n??n??n?1n?1n!1?2?33?...?nn例2.8.3 求lim. n??n解：令an?nn,?n?1,2,3...?，则由定理1.2.4（1）知

1?2?33?...?nn?liman?limnn?1. limn??n??n??n2.9 级数法

若一个级数收敛，其通项趋于0（n?0）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想.

cn例2.9.1 用级数法求例2.1.3注lim?c?0?. n??n!cn解：考虑级数?，由正项级数的比式判别法，因

n! 13

cn?1cnc/?lim?0?1， limn???n?1?!n!n??n?1cncn?0?c?0?. 故级数?收敛，从而limn??n!n!nk例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设a?1及k?N，求lim. n??an*nk解：考虑正项级数?n，由正项级数的比式判别法，因

a n???n?1?liman?1knk1?n?1?1/n?lim????1， ?n??aa?n?aknknk?0. 故正项级数?n收敛，所以limn??ana?111?例2.9.3 求极限lim?2?. ?...?22?n??n?n?1??2n?????解： 因级数?1收敛，由级数收敛的柯西准则知，对???0，存在N?0, 2n?1n?使得当n?N时，

1n?11 ?2??2??，

k?1kk?1k2n此即

111??...???， 222n?n?1??2n?所以

?111? lim?2??...??0. 22?n??n?n?1??2n??????例2.9.4 求极限lim??n??1?a2n??...???a?1?. a2an??1解：令x?，所以x?1.考虑级数 ?nxn，

an?1 14

n?1?x?an?1?lim因为limn??an??nxnn?nn?1?x?1，所以此级数收敛.

??令 s?x???nx，则s?x??x??nxn?1n?1n?1.再令f?x???nxn?1，

n?1?x0f?t?dt???ntn?10?xn?1dt??xn?n?1?x. 1?x所以

1?x?? f?x???. ??2?1?x??1?x?而 s?x??x?f?x??所以

x?1?x?2?a?1?1?a??12,

n?a?1?12 lim??2?...?n??s?x??. 2n??a?1aa???1?a?2.10 其它方法

除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子. 例2.10.1 求limsin2?n2?n.

n??解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性. limsin2?n2?n?limsin2?n2?n?n?

n??n??2 ＝limsinn????????n?n?n?n2?limsin2n???1?1?1n

＝sin2?2?1.

2ccan例2.10.2 设0?c?1，a1?，an?1??,

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