数列极限求法及其应用 毕业论文(3)

知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.

amnm?am?1nm?1?...?a1n?a0例2.2.1 求lim,其中m?k，am?0，bk?0. k?1n??bnk?b?...?b1n?b0kk?1n解：分子分母同乘n?k，所求极限式化为

amnm?k?am?1nm?1?k?...?a1n1?k?a0n?k lim. ?11?k?kn??bk?bk?1n?...?b1n?b0nn???0，由lim???0?知， n??当m?k时，所求极限等于

am；当m?k时，由于nm?k?0?n?0?，故此bm时所求极限等于0.综上所述，得到

?amamn?am?1n?...?a1n?a0?,k?m??bm. limk?1n??bnk?bn?...?bn?bkk?110?0,k?m?mm?1na例2.2.2 求limn，其中a??1. n??a?1an1?解: 若a?1，则显然有lim； n??an?12若a?1，则由liman?0得

n??an lim?liman/liman?1?0； nn??a?1n??n????若a?1，则

an11limn?lim??1n??a?1n??11?0 . 1?na2.3 夹逼准则求法

定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方

6

法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限limn??解：因为

2n?1??2n?1???2n?1?， 2n?4n2?4n2?1??2n?1??2n?1?，1?3????2n?1?2?4????2n?.

所以 0?因 limn??1?3????2n?1?2?4????2n??11?3?3?33?5???2n?1?2n?12n?1?2n?1?12n?1.

1?0，再由迫敛性知 2n?11?3????2n?1?2?4????2n??0.

limn??例2.3.2 求数列?nn?的极限.

解： 记an?nn?1?hn，这里hn?0?n?1?，则 n??1?hn??由上式得 0?hn?nn?n?1?2hn2,

2?n?1?，从而有 n?12 , （2） n?1 1?an?1?hn?1?数列??1????22???是收敛于1的，因对任给的??0，取N?1?2，则当

?n?1??n?N时有1?2?1??.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为n?11,故由迫敛性得

limnn?1.

n?? 7

nk例2.3.3 设a?1及k?N，求lim. n??an*nk?0. 解：limn??an事实上，先令k?1，把a写作1??，其中??0.我们有 0?nn??nna?1???n2. ?2n?n?1?2?n?1??1?n????...2k?nn2?n????0n?2由于lim，可见是无穷小.据等式 ???n?n???n?1??2an??a1/k?n?a????， ??k注意到a1/k???n??1，由方才所述的结果?1/kn?是无穷小.最后的等式表明，

???a????nk??n?可表为有限个（k个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 ?a?nk?0. limn??an2.4 单调有界定理求法

有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.

cn?0?c?0?. 例2.4.1 求例2.1.3注解中的limn??n!cn?0?c?0?. 解：limn??n!cn事实上，令xn?，n?N*.当n?c时，

n! 8

xn?1?xnc?xn. n?1??因此?xn?从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单

xn存在，在等式xn?1?xn调有界原理知极限x?limn??c的等号两边令n?1??n??，得到x?x?0?0,所以?xn?为无穷小.从而

cn?0?c?0?. limn??n!例2.4.2 求极限lim33???3（n个根号）. n??解：设an?33???3?1，

又由a1?3?3，设an?3，则an?1?3an?3?3?3. 因an?1?3an?an，故?an?单调递增. 综上知?an?单增有上界，所以?an?收敛.

an?a，1?a?3，令lim由an?1?3an， n??对两边求极限得a?3a，故a?3. 2.5 函数极限法

有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.

例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求limna. n??a?lima?lime解：先求lima，因limx??x??x??x??xx1/xlnax?ex??limlnax?e0?1,

再由归结原则知limna?1.

n??例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求limnn. n??x?lime解：先求limx.因limx??x??x??xxlnxx?e9

lnxx??xlim?e0?1，

再由归结原则知limnn?1.

n??kn例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设a?1及k?N，求lim. n??an*xkkxk?1k!xlimx?limx?.....?limx?0k解：先求lim.因（由洛比达法x??x??x??aalnaa?lna?x??axknk?0. 则），再由归结原则知limn??an2.6 定积分定义法

通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了. 例2.6.1 求limn??nnn!. nn!1ni解：令y?，则lny??ln.而

nni?1n111nilimlny?lim?ln??lnxdx?limlnxdx?lim??1???ln????????1, 0n??n??n??0+????0+?ni?1y??1，所以limy?lim也即lnlimn??n??n??nn!?e?1. n?2???sinsin?sin??nn例2.6.2 求极限lim?. ??...?n??11?n?1?n?n??2n??解：因为

2??2??...?sin?sinsinnn?n?...?sin? n?1n?1n?1n?1n?2n?2?sin?sin?...?sin?n ?n ， 1n?nsin?sin

10

?

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数列极限求法及其应用 毕业论文(3)在线全文阅读。