数列极限求法及其应用 毕业论文(2)

数列极限的求法及其应用

学号：071106132 作者：杨少鲜 指导老师：董建伟 职称：讲师

第一章 数列极限的概念

在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础. 1.1 数列极限的定义及分类

数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，

我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积An在n无限增大（n??）时，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.

针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：??N定义，A?N定义.

定义1（??N语言）：设?an?是个数列，a是一个常数，若???0，?正整数N，使得当n?N时，都有an?a??，则称a是数列?an?当n无限

1

an?a，或an?a?n????.增大时的极限，或称?an?收敛于a，记作nlim???这时，也称?an?的极限存在.

定义2（A?N语言）：若A?0,?正整数N，使得当n?N时，都有an?A,则称??是数列?an?当n无限增大时的非正常极限，或称?an?发散于

n?????，记作liman???或an????n????，这时，称?an?有非正常极限.

对于??,?的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理. 1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若?an?和?bn?为收敛数列，则?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn, lima?b?lima?limb.

?nn?n??nn??nn???a??bn?n??n??n??bn?0，则?n?也是收敛数列，且有 若再假设bn?0及limn???alim?nn??b?n?an/limbn. ??limn??n???定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.

定理1.2.3（Stoltz公式） 设有数列?xn?，?yn?，其中?xn?严格增，

xn???（注意：不必limyn???）.如果 且nlim???n????? 2

yn?yn?1lim n???x?x?a（实数，??,??），

nn?1则 nlim???00yny?yn?1?a?limn. n???x?xxnnn?1xn?0，limyn?0.定理1.2.3'（Stoltz公式） 设?xn?严格减，且nlim???n???若

yn?yn?1lim n???x?x?a（实数，??,??），

nn?1则

limn???yny?yn?1?a?limn.

n???x?xxnnn?1an?a，则 定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设limn??（1）limn??a1?a2?...?an?a， n（2）若an?0?n?1,2,...?，则limna1a2...an?a.

n??定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列?an?,?bn?都以a为极限，数列?cn?满足：存在正数N0，当n?N0时，有 an?cn?bn，

cn?a. 则数列?cn?收敛，且limn??定理1.2.6（归结原则）设f在U??x0;???内有定义.limf?x?存在的充

x?x0要条件是：对任何含于U??x0;???且以x0为极限的数列?xn?，极限

limf?xn?都存在且相等.

n??

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第二章 数列极限的求法

2.1 极限定义求法

在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N.我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.

例2.1.1 求limna，其中a?0.

n??解：limna?1.

n??事实上，当a?1时，结论显然成立.现设a?1.记??a?1，则??0. 由 a??1???1nn1n?1??1?n??1?n?an?1?,

??得 a?1?a?1. （5） n任给??0，由（5）式可见，当n?所以limna?1.

n??a?1??N时，就有a?1??.即a?1??.

1n1nn对于0?a?1的情况，因?1，由上述结论知limn??1a1?1，故 an lima?limnn??n??11??1. 1/a1综合得a?0时，limna?1.

n??例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.

an?a，则???0，存在N1?0，使当n?N1时，有 证明：由limn?? an?a??/2, 则

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a1?a2?...?an1?a?a1?a?...?aN1?a?aN1?1?a?...?an?a. nn??令c?a1?a?...?aN?a，那么

1

cna1?a2?...?ancn?N1??a???. nnn2cn由lim?0，知存在N2?0，使当n?N2时，有?. n??再令N?max?N1,N2?,故当n?N时，由上述不等式知

a1?a2?...?an?n?N1????a???????. n2n222?2所以 limn??a1?a2?...?an?a. n7n例 2.1.3 求lim. n??n!7n?0. 解：limn??n!7n777777777771 事实上，??...?...?????.

n!1278n?1n7!n6!n7n771即?0??. n!6!n?771?对???0，存在N????，则当n?N时，便有

?6!??7n7717n?0????，?0. 所以limn??n!n!6!ncn?0?c?0?. 注：上述例题中的7可用c替换，即limn??n!2.2 极限运算法则法

我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已

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