(教师)直线和圆锥曲线经常考查的一些题型(3)

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y?p2.即抛物线的通径所在的直线。

练习、（山东09理）（22）（本小题满分14分） 设椭圆E:

xa22?yb22?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且????????OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

xa22解:（1）因为椭圆E: ?yb22?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,

21?4?1??1?22???a2?8xy?a2b2?a28所以?解得?所以?2椭圆E的方程为??1

84?b?4?6?1?1?1?1222??b4?a?b（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,????????且OA?OB,设该圆的切线方程为y?kx??y?kx?m?解方程组?x2y2得m??1?4?8x?2(kx?m)?8,即(1?2k)x?4kmx?2m?8?0,

22222则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k2?m2?4?0 4km?x?x??122??1?2k?22m?8?xx?122?1?2k?22,

y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?k(2m?8)1?2k2222?4km1?2k222?m?2m?8k1?2k222??????????O,需使x1x2要使OA3m?882632y1?y02,即

2m?81?2k222?m?8k1?2k22?0,所以

3m?8k?8?0,所以k?222?m2?2?0又8k?m?4?0,所以?,所以2?3m?82m?283,即m?263或m??,因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切

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线,所以圆的半径为r?m1?k2,r?2m221?k?1?m223m?88263?83,r?263,所求的圆为

x?y?2283,此时圆的切线y?kx?m都满足m?或m??263,而当切线的斜

率不存在时切线为x??263与椭圆

x28?y24?1的两个交点为(263,?263)或

(?263,?26????????822)满足OA?OB,综上, 存在圆心在原点的圆x?y?，使得该圆的

33????????任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB. 4km?x?x??122??1?2k因为?, 2?xx?2m?82?121?2k?所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?224km1?2k2)?4?22m?81?2k22?8(8k?m?4)(1?2k)222222,

|AB|?(x1?x2)??y1?y2??22(1?k)(x1?x2)?22(1?k)28(8k?m?4)(1?2k)22 ?324k?5k?1??4234k?4k?142323[1?k4224k?4k?1],

①当k?0时|AB|?323[1?4k?211k14k?2] ?41832332314k?22因为4k?21k2?4?8所以0?1k2??4,所以?[1?1k2]?12, ?4所以436?|AB|?23当且仅当k??22时取”=”.

② 当k?0时,|AB|?463.

③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(263,?263)或(?263,?263),所以此时

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|AB|?463,综上, |AB |的取值范围为

436?|AB|?23即: |AB|?[436,23]

问题十：范围问题（本质是函数问题） （2009湖南卷文）（本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）. （Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。 解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为

xa22?yb22?1(a?b?0),焦距为2c，

由题设条件知，a?8,b?c, 所以b?2212a?4. 故椭圆C的方程为

2x28?y24?1 .

（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x??4,所以点P的坐标(?4,0)，

显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y?k(x?4)。

如图，设点M，N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点为G(x0,y0)，

?y?k(x?4),?2222 由?x2y2得(1?2k)x?16kx?32k?8?0. ……①

??1?4?8由??(16k)?4(1?2k)(32k?8)?0解得?222222?k?22. ……②

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因为x1,x2是方程①的两根，所以x1?x2??x1?x2216k221?2k，于是

x0?=?8k221?2k，y0?k(x0?4)?4k1?2k2 .

因为x0??8k221?2k?0，所以点G不可能在y轴的右边，

又直线F1B2,F1B1方程分别为y?x?2,y??x?2, 所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

?4k?y0?x0?2, 即???1?2k2y?x?2.?0?04k8k222??1?2k8k???2,22?1?2k1?2k?2?2k?2k?1?0,??2, 亦即 ?2??2k?2k?1?0.解得?3?12?k?3?12，此时②也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

故直线l斜率的取值范围是[?3?12,3?12].

问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等

比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） (2009山东卷文)（本小题满分14分）

????设m?R,在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量b?(x,y?1),a?b,动

点M(x,y)的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）已知m?14,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交

点A,B,且OA?OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m?14,设直线l与圆C:x?y?R(1

222点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. ????解:（1）因为a?b,a?(mx,y?1),b?(x,y?1),

??2222所以a?b?mx?y?1?0, 即mx?y?1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当m=0时,方程表示两直线,方程为y??1;

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当m?1时, 方程表示的是圆

当m?0且m?1时,方程表示的是椭圆; 当m?0时,方程表示的是双曲线. (2).当m?14时, 轨迹E的方程为

x24?y?1,设圆心在原点的圆的一条切线为y?kx?t,

2?y?kx?t?解方程组?x2得x2?4(kx?t)2?4,即(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0,

2?y?1??4要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 8kt?x?x??122??1?4k2222即4k?t?1?0,即t?4k?1, 且? 2?xx?4t?4122?1?4k?y1y2?(kx1?t)(kx2?t)?kx1x2?kt(x1?x2)?t?22k(4t?4)1?4k222?8kt2221?4k?t?2t?4k1?4k222,

22222????????4t?4t?4k5t?4k?4要使OA?OB, 需使x1x2?y1y2?0,即???0, 2221?4k1?4k1?4k所以5t2?4k2?4?0, 即5t2?4k2?4且t2?4k2?1, 即4k2?4?20k2?5恒成立. 所以又因为直线y?kx?t为圆心在原点的圆的一条切线,

4所以圆的半径为r?t1?k2,r?2t221?k?5(1?k)1?k22?45, 所求的圆为x?y?224525.

当切线的斜率不存在时,切线为x??2525255,与

x24?y?1交于点(2255,?5)或

(?5,?5)也满足OA?OB.

22综上, 存在圆心在原点的圆x?y?????????A,B,且OA?OB.

1445，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点

(3)当m?时,轨迹E的方程为

x24?y?1,设直线l的方程为y?kx?t,因为直线l与圆

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C:x2?y2?R2(1

?y?kx?t?由（2）知?x2得x2?4(kx?t)2?4,

2?y?1??4t1?k2, 即t2?R2(1?k2) ①,

即(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0有唯一解

则△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 即4k2?t2?1?0, ②

2?23R?t?2?4?R由①②得?, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2?k2?R?12??4?R8kt?x?x??12222?4t?416R?16?1?4k2由? 中x1?x2,所以,x1?, ?2221?4k3R?xx?4t?4122?1?4k?2B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y1?1?142x1?24?R3R222,所以|OB1|?x1?y1?5?22224R2,

2在直角三角形OA1B1中,|A1B1|?|OB1|?|OA1|?5?4R24R22?R?5?(24R2?R)因为

?R?4当且仅当R?22?(1,2)时取等号,所以|A1B1|?5?4?1,即

当R?

2?(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

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