(教师)直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换 （7）x,y，k(斜率)的取值范围

（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 1：已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)过点(1,32)，且离心率e?12。

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(,0)，求k的取值范围。

81

解：（Ⅰ）?离心率e?32121a2，?94bba222?1?14?34，即4b?3a（1）；

222又椭圆过点(1,)，则x2??1，（1）式代入上式，解得a?4，b?3，椭圆方程为

24?y23?1。

（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，弦MN的中点A(x0,y0)

?y?kx?m222由?2得：(3?4k)x?8mkx?4m?12?0， 2?3x?4y?12?直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点，

???64mk?4(3?4k)(4m?12)?0，即m?4k?3………………（1）

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由韦达定理得：x1?x2??4mk3?4k28mk3?4k2,x1x2?224m?123?4k22，

则x0??,y0?kx0?m??4mk3?4k?m?3m3?4k2，

3m直线AG的斜率为：KAG??3?4k4mk3?4k22?18?24m?32mk?3?4k2，

由直线AG和直线MN垂直可得：

24m?32mk?3?4k1202?k??1，即m??3?4k8k2，代入（1）

式，可得(3?4k8k2)?4k?3，即k?222，则k?510或k??510。

题型：动弦过定点的问题

例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线l过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。

解（I）由题意设椭圆的标准方程为

xa22?yb22?1(a?b?0)

a?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b?3?2x24?y23?1

（II）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由??y?kx?m22?3x?4y?12得

(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，

??64mk?16(3?4k)(m?3)?0，3?4k?m?0

222222222x1?x2??8mk3?4k2,x1?x2?4(m?3)3?4k22（注意：这一步是同类坐标变换）

2

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y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?223(m?4k)3?4k222（注意：这一

步叫同点纵、横坐标间的变换）

?以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且kAD?kBD??1，

y1y2?x1?2x2?222???1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，

3(m?4k)3?4k22?4(m?3)3?4k222?16mk3?4k2?4?0，

2k77m?16mk?4k?0，解得m1??2k,m2??，且满足3?4k2?m2?0

当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当m??2k7时，l:y?k(x?27)，直线过定点(227,0)

综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).

7练习2（2009辽宁卷文）已知，椭圆C以过点A（1，（1） 求椭圆C的方程；

32），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直

线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点A的坐标代入方

119222程： ，解得 ， （舍去） a??1?c??1a?4224a4(a?1)22所以椭圆方程为 。 xy??122433xy??1得 （Ⅱ）设直线AE方程为：y?k(x?1)?，代入

243(3?4k)x?4k(3?2k)x?4(223232?k)?12?0

2 设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上，所以

324(?k)?1232y?kx??k ………8分 ? EE223?4k xF又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得

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4(xF?3223?4k?k)?122，yE??kxE??32?k

所以直线EF的斜率KEF?yF?yExF?xE12?k(xF?xE)?2kxF?xE?12

即直线EF的斜率为定值，其值为题型：共线向量问题

。 ……12分

解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。 例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：的取值范围。 解：设

uuuruuurP(x1,y1),Q(x2,y2),QDP=lDQ\\x29?y24?1于P、Q两点，且DPuuuruuur=lDQ,求实数lì?x1=lx2(x1,y1-3)=l(x2,y2-3)即?í?y1=3+l(y2-3)???

方法一：方程组消元法又QP、Q是椭圆

22ìy2?x2?+=1??94? \\í2?(lx)2(ly2+3-3l)?2+=1??94??x29+

y24=1上的点

消去x2，可得

(ly2+3-3l)-ly24222=1-l2即y2=

1513l-56l

又Q－2￡y2￡2，\\－2￡?113l-56l￡2解之得：???5

则实数l的取值范围是?,5?。

?5?方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ的方程为：y?kx?3,k?0，

?y?kx?3?4x?9y?3622?由?消y整理后，得(4?9k)x?54kx?45?0

22?P、Q是曲线M上的两点，???(54k)?4?45(4?9k)＝144k?80?0

222即9k?5 ① 由韦达定理得：x1?x2??54k4?9k22,x1x2?454?9k2

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?(x1?x2)x1x22?x1x22?x2x1?2?54k22245(4?9k)4?(1??)2?

即

36?5(1??)2?9k?49k152?1?9k2 ②

由①得0?19k2?，代入②，整理得1?36?5(1??)2?95，解之得

1515???5

当直线PQ的斜率不存在，即x?0时，易知??5或???1?。 ?5,5???。

总之实数l的取值范围是

方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是

通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。

（07福建理科）如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作

????????????????直线l的垂线，垂足为点Q，且QP?QF?FP?FQ

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知????????????????MA??1AF,AF??2BF，求?1??2的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：

????????????????（Ⅰ）设点P(x，y)，则Q(?1，y)，由QP?QF?FP?FQ得：

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