(教师)直线和圆锥曲线经常考查的一些题型(2)

温新堂个性化一对一教学

2(x?1，0)?(2，?y)?(x?1，y)?(?2，y)，化简得C:y?4x.

（Ⅱ）设直线AB的方程为： x?my?1(m?0).

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M??1，???2??， m??y2?4x，联立方程组?，消去x得：

?x?my?1，?y1?y2?4m， y?4my?4?0，??(?4m)?12?0，故?yy??4．?1222????????????????由MA??1AF，MB??2BF得：

2m2my1????1y1，y2????2y2，整理得：?1??1?2my1，?2??1?2my2，

??1??2??2?2?11?24m2y1?y2?0 ???2??????2??m?4m?y1y2?my1y2????????????????????????????解法二：（Ⅰ）由QP?QF?FP?FQ得：FQ?(PQ?PF)?0，

????????????2????2?????????????????(PQ?PF)?(PQ?PF)?0，?PQ?PF?0，?PQ?PF

所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y?4x. ????????????????（Ⅱ）由已知MA??1AF，MB??2BF，得?1??2?0.

????MA?1则：??????MB?2????AF????.…………① BF2过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，

????????????????????MAAA1AF?1AFAF则有：??????????????.…………②由①②得：??????????，即?1??2?0.

MBBB1BF?2BFBF6 一切为了孩子--------温新堂教育

温新堂个性化一对一教学

题型：面积问题

练习2、（山东06文）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

解：设椭圆方程为

xa22?yb22?1(a?b?0).

b?c（I）由已知得 2aca22a?42?2 ? b2?1

2?b?c222c2?1?所求椭圆方程为

x2?y?1.

（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y?kx?2，A(x1,y1),B(x2,y2)

y?kx?2由 x22?y2?1消去y得关于x的方程：(1?2k2)x2?8kx?6?0

由直线l与椭圆相交A、B两点，?△?0?64k2?24(1?2k)?0，

2解得k2?32x1?x2??8k1?2k622，又由韦达定理得

x1?x2?22

1?2k2?AB?1?kx1?x2?1?k(x1?x2)?4x1x2

?1?k1?2k2216k2?24.

21?k2原点O到直线l的距离d?

?S?ADB?12AB?d?16k2?2421?2k?222k22?31?2k7

一切为了孩子--------温新堂教育

温新堂个性化一对一教学

解法1：对S?16k2?2421?2k两边平方整理得：

4S2k4?4(S2?4)k2?S2?24?0 （*） ?S?0，

16(S?4)?4?4S(S?24)?02222 ?

4-SS222?0?0

S?244S2整理得：S2?12.又S?0，?0?S?4222.从而S?AOB的最大值为S?22，

4k?28k?49?0此时代入方程（*）得

?k??142

所以，所求直线方程为： ?解法2：令m?2k214x?2y?4?0.

2?3(m?0)，则2k22m?4m142?m?3，

4m2 ?S?22mm?42??222.当且仅当m?即m?2时，

Smax?22此时k??.所以，所求直线方程为 ?14x?2y?4?0.

题型：弦或弦长为定值问题

例题9、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

8 一切为了孩子--------温新堂教育

温新堂个性化一对一教学

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图） 本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.

解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方?x2?2py22程为y=kx+p,与x=2py联立得?消去y得x-2pkx-2p=0.

?y?kx?p.2

由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是S?ABN?S?BCN?S?ACN?212?2px1?x2

＝px1?x2?p(x1?x2)?4x1x2＝p4p2k2?8p2?2p2k2?2.

?当k?0时，（S?ABN）min?22p2.

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为O?,t与AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则O?H?PQ,O?点的坐标为（?O?P?12AC?12x1?(y1?p)＝

22x1y1?p,） 2212y1?p.

22O?H?a?14y1?p214?122a?y1?p,?PHp22?O?P2?O?H2

=

(y1?p)?22(2a?y1?p)＝(a?2)y1?a(p?a),

9 一切为了孩子--------温新堂教育

温新堂个性化一对一教学

?PQ2p??2?(2PH)=4(a?)y2?a(p?a).

??2???0，得a?p2,此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为

令a?y?p2p2，即抛物线的通径所在的直线.

解法2：

（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 AB?1?kx1?x2?21?k?2(x1?x2)?4x1x2?21?k?2p1?k224pk?8p

222＝2p1?k2?k2?2.又由点到直线的距离公式得d?.

从而，S?ABN?12?d?AB?12?2p1?k?2k?2?22p1?k2?2p2k?2,

2?当k?0时，（S?ABN）max?22p.

2（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为

(x?0)(x?x1)?(y?p)(y?y1)?0,将直线方程y=a代入得 x?x1x?(a?p)(a?y1)?0,2 p??则?＝x?4(a?p)(a?y1)?4?(a?)?y1?a(p?a).2??21设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有 PQ?x3?x4?p2pp??4?(a?)y1?a(p?a)??2(a?)y1?a(p?a).

22??p2,此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为

令a??0,得a?10 一切为了孩子--------温新堂教育

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库(教师)直线和圆锥曲线经常考查的一些题型(2)在线全文阅读。