《经济数学基础上》模拟试卷A-C(3)

因此f(x)??2sinx?xcosx，积分得所求函数

'f(x)?2cosx?xsinx?C

四、证明题(每小题10分，共20分)

11. 设函数f(x)在区间?0,1?上连续，在?0,1?内可导，f(1)?0，f()?1，证明

2?1?存在???,1?，使得f(?)??.

?2?证 ?(x)?f(x)?x，?()?f()?1212111?1???0， 222?(1)?f(1)?1?0?1??1?0，由连续函数的零点存在定理：至少存在一点???,1?，使得?(?)?f(?)???0，即f(?)??

22.当x?0时，证明 ex?(1?x)?1?cosx.

证 令f(x)?e?(1?x)?(1?cosx)，f(x)?e?1?sinx，f(x)?e?cosx，

由x?0，f(x)?e?cosx?0，故f(x)单调增加，由f(0)?0，因此f(x)?0，知故f(x)单调增加，又由f(0)?e?1?1?cos0?0，可以得到f(x)?0，即

0\x'''x'x\x?1???ex?(1?x)?1?cosx

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