《经济数学基础上》模拟试卷A-C(2)

C. a?1，b??1 D. a??1，b??1

?ex,x?03. 设f(x)??在x?0处连续，则a? ( B ).

?a?x,x?0A. 2 B. 1 C. 0 D. -1

4. 函数f(x)?2x2?x?1在区间??1,3?上满足拉格朗日中值定理，定理中的

??( D ).

33A. ? B. 0 C. D. 1

44115. f(x)?x3?x2?6x?1的图形在点(0,1处)切线与x轴交点坐标是

32( A ).

?1?A. ??,0? B. ??1,0? C.

?6?lnx?1??,0? D. ?1,0? ?6?6. 设函数f(x)连续，F(x)??1f(t)dt，则F'(x)?( A ).

x111f(lnx)?2f() B. xxx111C. f(lnx)?2f() D.

xxxA.

11f(lnx)?f() xx11f(lnx)?f() xx三、计算题（每小题8分，共32分）

1. lim1?2x?(1?x). 2xx?0111?1(2x)(1?2x)2?111?2x2解 原式=lim??lim??lim??

x?0x?02x1?2xx?02x1?2x2x22.

??edt?求limxt20x?02?x0tedt2t2.

解

0型 0x0x??limx?0edt2t2?2?0te2tdt?limx?02ex2?xxe02x2etdt2?limx?02?etdt0x2xex2?limx?02ex22ex?2x2ex2?lim2?2

x?01?2x2?x?f(t) ，求y'，y\. f(x)二阶可导，且f\(t)?0，若??y?tf(t)?f(t)dydx解 ?f(t)?tf'(t)?f'(t)，?f'(t)，所以

dtdtdydydtf(t)?tf'(t)?f'(t)f(t)' y????t?1?''dxdxf(t)f(t)dtddy'()?ddyf(t)?1y\?()?dtdx??t?1?'?'dxdxdxf(t)?f(t)? dt?[f'(t)]2?f(t)f\(t)?12[f'(t)]2?f(t)f\(t)??1??'?'2[f(t)][f'(t)]3??f(t)x?14. 设f(x?1)?，且f(?(x))?2x，求??(x)dx.

x?23.

解 f(x?1)?x?1(x?1)?2x?2，于是f(x)?， ?x?2(x?1)?1x?1f(?(x))??(x)?22x?2 ?2x，所以?(x)??(x)?12x?1??(x)dx??2x?233dx??(1?)dx?x?ln2x?1?C 2x?12x?12四、证明题 (每小题10分，共20分)

1. 设f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且2?3f(x)dx?f(1)，证明在(1,2)22内至少存在一点??(1,2)，使f?(?)?0.

证 ∵f(x)在[1,2]上连续，由积分中值定理有

232f(?)?3dx?f(1)，即f(?)?f(1),??(,2)，于是

22于是在[1,?]上应用罗尔定理,则存在一点??(1,?)?(1,2),使f?(?)?0。

2. 设f(x)在[0,1]上连续且严格单调增加，又设f(x)?0，证明 对于任意的

??,满足0?????1，下列不等式成立

1???f(t)dt???f(t)dt.

001?1证 构造函数F(x)??f(t)dtx0xx?(0,1)

xxxxF?(x)?xf(x)??f(t)dtx02??f(x)dt??f(t)dt?(f(x)?f(t))dt00x2?0x2

∵f(x)在[0,1]上严格单调增加且f(x)?0，∴f(x)?f(t)?0 于是F?(x)?0，则F(x)在[0,1]上严格单调增加，故F(?)?F(?)。

即

1???f(t)dt???f(t)dt成立

001?厦门大学网络教育2008-2009学年第二学期 《经济数学基础上》模拟试卷（C）卷

一、填空题(每小题4分，共24分)

x?0?x2,?x2?x,x?0 1. f(x)??2，则f(?x)?_______.答案:f(?x)??2 x?0x?0x?x,x,???x?a??____________.答案: e2a 2. 设a为非零常数，则lim??x??x?a??x3. 设y?xlnx，则y(10)?______________________.答案:

8! x94. 设函数y?y(x)由方程ey?6xy?x2?1?0确定，则y'(0)?_________.答案: 0

????5. 函数y?x?2cosx在区间?0,?上的最大值______________.答案: ?3 6?2?xx??6. ??sin?cos?dx?____________________.答案: x?cosx?C

22??2二、单项选择题(每小题4分，共24分）

1. 函数y?f(x)?xsinxecosx（x?R）是( D ).

A. 有界函数 B. 单调函数 C. 周期函数 D. 偶函数

2. 下列极限存在的是( A ).

1x(x?1)1A. lim B. limx C. limex D. limsinx 2x??x?0x??x??2?1x?1?t2x??2dy?1?t3. 设?，则?（ A ）.

dx2t?y??1?t2?t2?11?t2x2?12tA. B. C. D.2

2t2t2xt?14. 曲线y?e1?x与直线x??1在交点p处的切线方程为( A ).

A. 2x?y?3?0 B. 2x?y?1?0 C. 2x?y?3?0 D. 2x?y?2?0

25. 点(1,2)是曲线y?(x?a)3?b的拐点，则( C ).

A． a?0,b?1 B. a?2,b?3 C. a?1,b?2 D. a??1,b??6

?6. 函数f(x)???1,x?0,?0,x?0, 在[－1，1]上( D ). ??1,x?0,A. 有原函数(x)???x,x?0???x,F? B. 有原函数F(x)????x?1,x?0???x,C. 有原函数F(x)?x D. 不存在原函数

三、计算题(每小题8分，共32分）

1. lnsin3xxlim?0?lnsinx.

3cos3x解 lnsin3xsin3xxlim?0?lnsinx?xlim?0?cosx?3xlimsinx?0?sin3x?3xlimx?0?3x?1 sinxsinx2.

求lim?0arctantdtx?0x2.

sinx解 lim?0arctantdtarctan?sinx?cosx1x?0x2?limx?02x?2 3. 设函数y?y(x)是由方程y?xy所确定，求其微分.

dy?d(xy)?d(eylnx)?eylnxd(ylnx)?eylnx(lnxdy?y?1dx解 x)?xy(lnxdy?y?1

xdx)整理得 dy?yxydxy2x(1?xylnx)?x(1?ylnx)dx 4. 求可导函数f(x)，使它满足?10f(tx)dt?f(x)?xsinx.

解 设u?tx，则du?xdt，t?0时，u?0，t?1时，u?x，则

?11x0f(tx)dt?x?0f(u)du?f(x)?xsinx， 即

?x0f(u)du?xf(x)?x2sinx，

上式两边对x求导得

f(x)?f(x)?xf'(x)?2xsinx?x2cosx

x?0,

x?0,因此f(x)??2sinx?xcosx，积分得所求函数

'f(x)?2cosx?xsinx?C

四、证明题(每小题10分，共20分)

11. 设函数f(x)在区间?0,1?上连续，在?0,1?内可导，f(1)?0，f()?1，证明

2?1?存在???,1?，使得f(?)??.

?2?证 ?(x)?f(x)?x，?()?f()?1212111?1???0， 222?(1)?f(1)?1?0?1??1?0，由连续函数的零点存在定理：至少存在一点???,1?，使得?(?)?f(?)???0，即f(?)??

22.当x?0时，证明 ex?(1?x)?1?cosx.

证 令f(x)?e?(1?x)?(1?cosx)，f(x)?e?1?sinx，f(x)?e?cosx，

由x?0，f(x)?e?cosx?0，故f(x)单调增加，由f(0)?0，因此f(x)?0，知故f(x)单调增加，又由f(0)?e?1?1?cos0?0，可以得到f(x)?0，即

0\x'''x'x\x?1???ex?(1?x)?1?cosx

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