第4.5节 三维图形的几何变换2

§4.5 三维图形的几何变换

? 三维图形的基本变换矩阵有哪些？

? 三维图形变换的应用（三视图、轴测图、透视图）。

和二维图形一样，用适当的变换矩阵也可以对三维图形进行各种几何变换。对三维空间的点如(x,y,z)，可用齐次坐标表示为(x,y,z,1)。因此，三维空间里点的变换可写为：

?A?D?1??H??LBEIMCFJNP??Q?，此方阵R??S??x'y'z'1???xyz亦可分为四部分，其中左上角部分产生比例、对称、错切和旋转变换；左下角部分产生平移变换；右上角部分产生透视变换；右下角部分产生全比例变换。

一、 三维比例变换（基点为原点）

?x'y'z'1???xyz?A?01??0E000??0???AxEyJz1??00J0???0001??

由上式可知：A、E、J分别控制X、Y、Z方向的比例变换。若A＝E=J=1，S≠1，则元素S可使整个图形按同一比例放大或缩小。即：

?1000???x'y'z'1???xyz1??0100???0010???xy??000S??

若S>1，则整个图形变换后缩小；若S<1，则整个图形变换后放大。

下图为对一三棱锥分别实行局部比例变换(X方向放大1倍；Y方向缩小1倍；Z方向比例不变)和全比例放大1倍的变换。

zS???x??S

当相对于任意参考点F(x,y,z)作比例变换时，可视为：

fff① 将F平移至原点； ② 作过原点的比例变换； ③ 将F移至原来位置；

此

时

：

SF000??100?010?

?yz1?ff

00?1?010?=?001???x?y?zfff0??0?0??0??S?0??0??0x000??S00?0S0??001?yz?1?0??0??xf?? =????(1?Sx0Sy00Sfzz00S)?xxf0(1?S)?yy(1?S)?zf0??0? 0??1?

二、 三维对称变换 标准的三维空间对称变换是相对于坐标平面进行的。

（1） 对

XOY

平面的对

称变换 其变换矩阵为：

?1?0???0??0010000?100??0?； 0??1??M?XY（2） 对YOZ平面的对称变换 其变换矩阵为：

??1?0???0??0010000100??0?； 0??1??M?YZ（3） 对XOZ平面的对称变换 其变换矩阵为：

?M?XZ?1?0???0??00?10000100??0?； 0??1?三、 三维错切变换

?1BC0??其变换矩阵为：?M???D1F0???HI10?可见，主对角线??0001??各元素均为1，第4行和第4列其他元素均为0。

?1BC0???x'y'z'1???xyz1??D1F0???HI10???x?Dy?Hz??0001??

下图就是对单位立方体施行错切变换。变换矩阵中B＝C＝H=I=0，D＝0.5，F=0.3。

Bx

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