fn?x0??f????x0??x?x0??????fn?x0??x?x0?因为
n?2/?n?2?!?o?x?x0??n?2?
f?(x0)?f??(x0)?所以
?f(n?1)(x0)?0
f??(x)?fn(x0)(x?x0)n?2/(n?2)!?o((x?x0)n?2)
余项同样是(x?x0)n?2的高阶无穷小。
因此：
??当n为奇数时,(n?2)仍为奇数，在U?(x0)和U?(x0)上
fn(x0)(x?x0)n?2/(n?2)!符号相反，即f??(x)的符号相反，所以(x0,f(x0))为曲线
y=f(x)的拐点；
??当n为偶数时，(n?2)仍为偶数，则f??(x)在U?(x0)和U?(x0)上的符号相同，
所以(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点。
例15：判断（0，4）是否是f?x??ex?e?x?2cosx的拐点？
解： ?′(x)=ex-e-x-2sinx, ?′(0)=0
?′′(x)=ex-e-x-2cosx,?′′(0)=0
?′′′(x)=ex-e-x+2sinx, ?′′′(0)=0
?(4)(x)=ex-e-x-2cosx, ?(4)(0)=4≠0
因为n=4，所以（0，4）不是f?x??ex?e?x?2cosx的拐点。
4.7应用泰勒公式判断敛散性
敛散性的学习作为数学分析中的基础内容，为今后数学课程的学习奠定了重要的理论基础。泰勒公式作为数学分析学习的重要工具，在敛散性的判断中有着
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重要作用，在此讨论利用泰勒公式判断级数的敛散性和判断广义积分的敛散性。 判断级数的敛散性
x例15:判断级数?(n?11n?lnn?1)的敛散性。 n分析：若直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数会比较困难，因而也就无法恰当地选择判敛方法。
注意到
lnn?11?ln(1?) nn若将其泰勒展开为性更容易进行。
解：
11的幂的形式，开二次方后恰好与 呼应，使得判断敛散nn? lnn?1111111?ln(1?)??2?3?4??? nnn2nn3n4n ? lnn?11 ?nn? un?1n?lnn?1?0 n所以该级数是正项级数。
?lnn?1?n111111111?2?3??(3)??2?3?(?3)2?n2nnn3nn4nn2n21n?12n32
?un?
1n?ln1111n?1?(?3)= 3 <
nnn2n22n2? ?n?1?12n32具有收敛性
所以由正项级数比较判别法可得原级数收敛。 判断广义积分的敛散性
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在判断定积分???af(x)dx的敛散性时, 通常选用定积分?????a1dx(p?0)进xp行比较后通过研究无穷小量f(x)(x???)的阶来有效地选?a从而简单地判定???a1dx中的p值，pxf(x)dx的敛散性（注意到：如果???af(x)dx得收敛，则
???af(x)dx得收敛）。
例16:判定广义积分?(x?3?x?3?2x)dx的敛散性。
6??解：由
(1?x)a?1?ax?得
a(a?1)2x??(x2) 2!f(x)??x?3?x?3?2x 33x(1?)2?(1?)2?2
xx113191131911 ?x(1????2?o(2))?(1????2?o(2))?2
2x8xx2x8xx911?3??(3) 42xx2=?因此，limx?????1f(x)91(x???)dxf(x)?0，即是的3/2阶，因为?3/2?61xx4x3/2收敛，所以???6f(x)dx收敛，从而?(x?3?x?3?2x)dx收敛。
6??4.8利用泰勒公式解经济学问题 随着我国经济的高速发展，作为数学专业的学生，将数学知识应用在经济学中，并能够解决基本的经济学问题则成我们日常生活中一项必要的能力。经济学中应用最多的数学知识是定积分的应用，在这里将以定积分为基础，利用泰勒公式去解决经济学问题。
例17：已知某厂商的成本函数表达式为：STC=(1+x)3，假定每件商品的最终销售的价格为66元。求在新的价格下，厂商的盈利情况，若发生亏损，则最小的亏损金额是多少。
解：根据题意，由于受到外来市场的冲击，该厂商的供求发生波动，厂商决定下
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调价格，若将降价后价格定为27元。此时不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC，若要计算利润的正负需要根据P=MC所决定的均衡产量来计算，
根据函数STC=(1+x)3，设f(x)=(1+x)3应用泰勒公式得有：
(1+x)m=1+mx+m(m-1)2x?? 2!得 STC=1+3x+3x2+x3 因为 P=MC，即27=3x2+6x+3 所以x=4,x=1
1′′f(x0)(1-x0)2 （1） 21′′′=f(x+)f(x-)(xf0x(-2)0 (x f(0) )（2） 000+)2因为 f(1)=f(x0)+f′(x0)(1-x0)+d2TCd2TC=6×4+6=30>0，=6×1+6=12>0 所以 22dxdx故 x=4,x=1是利润最大或者最小的产量。 利润 π=TR-TC=PQ-(1+x)3=27×4-(1+4)3=-17 π=TR-TC=PQ-(1+x)3=27×1-(1+1)3=19
则：当商品的价格为27元时。若厂商的商品产量为1时，获得最大盈利，
利润为19元。若厂商的商品产量为4时，会产生亏损，最小亏损为17元。
5结束语：
泰勒公式作为数学分析中非常重要的内容，已经成为各个领域的数学研究中不可或缺的工具。本文介绍了泰勒公式的起源以及研究的背景意义，详细阐述了泰勒公式的性质并做出了一定的推广。进而探讨了泰勒公式在数学中的广泛应用，最后例举了泰勒公式在经济学中的简单应用，充分说明了泰勒公式应用的领域之广以及在数学中的重要地位。在我们今后深入研究中，要充分认识到泰勒公式提出的思想内涵，弄清泰勒的思维方式，这对培我们思维能力与独立工作的能力，从根本上强化已学知识，提高学生的素质是十分必要的。不可否认的是泰勒公式在应用方面存在一些问题和漏洞，我们只有熟练掌握基础知识，才能在此基础上加强训练，总结经验和前人的研究成果，深刻领会不同时代数学大师在泰勒公式这一问题中的思想内涵，争取探索出新的解题方法和途径，以便为我们今后更好的钻研和研究，将泰勒公式应用于更多的实际问题中，使泰勒公式真正成为被广泛认可的理论工具。
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