泰勒公式及其应用(4)

1''f(x0)(x?x0)??((x?x0)2) 同号。 2!故当f''(x0)?0时，对?x?U(x0;?1)有

f(x)?f(x0)?0

即f(x)于x0处取得极大值。

同理当f''(x0)?0时，则f(x)在x0处取极小值。

例9：设f在x0附近有n?1阶连续导数，且

f?(x0)?f??(x0)?...?f(n)(x0)?0， f(n?1)(x0)?0

（1）如果n为偶数，则x0不是f的极值点．

（2）如果n为奇数，则x0是f的严格极值点，且当f(n?1)(x0)?0时，x0是f的严格极小值点；当f(n?1)(x0)?0 时，x0是f的严格极大值点．

证明：将f在x0点处作带皮亚诺型余项的Taylor展开，即：

f(n?1)(x0)f(x)?f(x0)?(x?x0)n?1??((x?x0)n?1)

(n?1)!于是

?f(n?1)(x0)?((x?x0)n?1)?n?1 f(x)?f(x0)???(x?x)?0n?1(x?x0)?(n?1)!?由于

?f(n?1)(x0)?((x?x0)n?1)?f(n?1)(x0) lim???n?1?x?x0(n?1)!(n?1)!(x?x0)??f(n?1)(x0)?((x?x0)n?1)f(n?1)(x0)故???0，(x0??,x0??)中，与同号． ?(n?1)!(n?1)!(x?x0)n?1（1）如果n为偶数，则由(x?x0)n?1在x0附近变号知，f(x)?f(x0)也变号，故x0不是f的极值点．

（2）如果n为奇数，则n?1为偶数，于是，(x?x0)n?1在x0附近不变号，故

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f(n?1)(x0)同号． f(x)?f(x0)与

(n?1)!若f(n?1)(x0)?0，则f(x)?f(x0)，?x?(x0??,x0)?(x0,x0??)，x0为f的严格极小值点．

若f(n?1)(x0)?0，则f(x)?f(x0)，?x?(x0??,x0)?(x0,x0??)，x0为f的严格极大值点．

4.4应用泰勒公式证明不等式

不等式的证明可用的方法很多，其中利用泰勒公式证明不等式是不等式证明中的一个重要方法。在此主要介绍泰勒公式在证明一般不等式中的应用，泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用，泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中的推广应用与证明。

泰勒公式在证明一般不等式中的应用

一般的证明思路为：如果函数f(x)存在二阶及二阶以上导数并且有界，利用泰勒公式去证明这些不等式。

(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； (2)恰当地选择等式两边的x与x0；

(3)按照最高阶导数的大小对函数的泰勒展开式进行放缩。 例10：设f(x)在（??,??）上满足f''(x)?0 ，证明：

f(x1?x2???xnf(x1)?f(x2)???f(xn))? 。

nn证 ：令

x0?x1?x2???xn

n则

nx0?x1?x2???xn

则由泰勒展开式得

f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?1''f(?)(x?x0)2，x0???x 2!当x?xk(k?1,2,?n)时亦有

f(xk)?f(x0)?f'(x0)(xk?x0)?

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1''f(?k)(xk?x0)2 2!其中?k在x0与xk之间。

因为f''(x)?0，所以有

f''(?k)?0

因此有

f(xk)?f(x0)?f'(x0)(xk?x0)(k?1,2,?n)

从而得到

?f(xk?1nk)?nf(x0)?f(x0)?(xk?x0)

'k?1n =nf(x0) 则

f(x1)?f(x2)???f(xn)1nf(x0)??f(xk)=

nnk?1即

f(x1?x2???xnf(x1)?f(x2)???f(xn))?。

nn泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用 例11:设f?x?在?a,b?上单调增加，且f''?x?＞0， 证明 ：?f?x?dx＜?b?a?abf?a??f?b?.

2题设条件告知f?x?二阶可导且f''?x?＞0，由于高阶导数的存在，提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是f?x?，右边有f?a?、f?b?，我们不妨对?t??a,b?，将f?t?在点x处展开为泰勒公式，再令t?a,t?b，进而找出

f?x?与f?a?、f?b?的关系.

证明 对?t??a,b?,f?t?在点x处的一阶泰勒展开式为：

f?t?=f?x?+f'?x??t-x?+

f''???2t-x?，其中?在t与x之间， ?2! ∵ f''???＞0, ∴ f?t?＞f?x?+ f'?x??t-x? （1）

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将t?a,t?b，分别代入（1）并相加，得

f?a??f?b?＞2f?x?+?a?b?f'?x?－2xf'?x? (2) 对(2)的两边在?a,b?上积分，则

??f?a??f?b????b?a?＞2?baf?x?dx+?a?b?b?baf?x?dx－2ba?baxf'?x?dx

a???f?a??f?b????b?a?＞2?af?x?dx+?a?b?f?x??2??f?a??f?b????b?a?＞4 故?f?x?dx＜?b?a?abb—2?xf?x?b?a?f?x?dx?

?????f?x?dx

abf?a??f?b?.

2泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中的推广应用与证明

泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中也有着重要应用，只要f(x)在x0处存在且二阶可导，那么泰勒展开式可以推广为以下两种类型： 定理： 设函数y?f(x)在点x0附近二阶可导，则 （1） 若f''(x)＞0，具有f(x)≥f(x0)?f'(x0)?x?x0?； （2） 若f''(x)＜0，具有f(x)≤f(x0)?f'(x0)?x?x0?； 等号在x?x0时成立.

对于定理1的证明，利用一元函数的泰勒展开式，结论显然成立。 下面我们利用定理1，对下面两个初等不等式作出证明. 例13： 证明：设n?N，nn?nn?nn?nn≤2nn，n≥2.

1?n1?2n111?nxn?0， 证明 设 f?x??nx(x?0)，则f'?x??xn，f''?x??nnn有定理1知：fn?nn≤f?n?+f'fn?nn≤f?n?+f'???n?，

n???n???n?

nn两式相加即得结论。

多数情况下单独利用泰勒公式无法完成对不等式的证明,要结合其他知识一起使用。当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合式时,可以作辅助函数并用泰勒公式代替。这样可以灵活的解决一些不等式证明的问题。 4.5应用泰勒公式判断函数的凹凸性

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研究函数的凹凸性可以更好的了解函数的性质，接下来简要探讨在判断函数的凹凸性时如何应用泰勒公式简化计算过程。

例14：设f?x?在?a,b?上连续，在（a,b)上具有一阶和二阶导数，证明：若在（a,b)内f???x?>0,则f?x?在?a,b?上的图形是凹的。

证明：设c

2!(x1-x0)2(x2-x0)2′′f(x1)+f(x2)=2f(x0)+f(x0)(x1-x0)+f(x0)(x2-x0)+f(x0)+f(x0)2!2!′′′′+o[(x1-x0)2]+o[(x2-x0)2]

因为余项为?x?xn?的高阶无穷小，又因为?x1,x2?足够小，

22?x?x0?2所以泰勒公式中f???x0??o??x?x0??的符号于f???x0?相同。

2!又因为x0?x1?x2，所以f??x0??x1?x0??f??x0??x2?x0??0可得2′′(x1-x0)2(x2-x0)2′′f(x1)+f(x2)-2f(x0)=f(x0)+f(x0)+o[(x1-x0)2]+o[(x2-x0)2]>0

2!2!即f(x1)+f(x2)-2f(x0)>0可得f(x0)

2由x1，x2的任意性，可得f?x?在足够小的区间?c,d?上是凹的，再有c，d的任意性可得f?x?在?a,b?内任意一个足够小的区间内部都是凹的。 4.6应用泰勒公式判断函数的拐点

定理4.2 若f(x)在x0处可导，在某邻域U(x0,?)内n阶可导，且满足

f'(x0)?f''(x0)???f(n?1)(x0)?0，且fn(x0)?0(n?2)

则：

（1）若n为奇数，则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点； （2）若n为偶数，则(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点 。 证明：f??(x)在x0处的泰勒公式

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