泰勒公式及其应用(2)

\pn(x)? 2!a2???n(n?1)an(x?x0)n?2

???

(n)pn(x)?n!an

a0?pn(x0)?f(x0)，

'a1?pn(x0)?f'(x0)，

a2?1\1pn(x0)?f\(x0)， 2!2!?， 1(n)1an?pn(x0)?f(n)(x0)

n!n!故

11pn(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f\(x0)(x?x0)2???f(n)(x0)(x?x0)n

2!n!下面对余项进行估计

令Rn(x)?f(x)?pn(x)为余项，则有

(n)Rn(x0)?R'n(x0)???Rn(x0)?0

'Rn(?1)Rn(x)?Rn(x0)Rn(x)?=(x0

(n)(n)(n?1)Rn(?n)?Rn(x0)Rn(?) = = (x0

(n?1)?2(?n?x0)?0(n?1)!从而 Rn(x)?f(x)?pn(x)

(n?1)Rn(?)Rn(x)?(x0

6

f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)(n?1)(x0

(n?1)!当在x0的某领域内 f(n?1)(x)?M时

Rn(x)?Mx?x0(n?1)!n?1

?Rn(x)??((x?x0)n) （x?x0）

所以有

1f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f\(x0)(x?x0)2??2!?

1(n)f(x0)(x?x0)n??((x?x0)n) n!上式即为f(x)在x0处的n阶泰勒公式。 2.2带有佩亚诺余项的泰勒公式

若函数f在点x0处存在直至n阶导数，则有

Pn(x)??k?0nf(k)(x0)(x?x0)k， k!Rn(x)?f(x)?Pn(x)．

则当x?x0时，Rn(x)??((x?x0)n)．即有

f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)n??((x?x0)n) (2.2.1)

n!称为函数f(x)在点x0处的泰勒公式，Rn(x)?f(x)?Pn(x)称为泰勒公式的余项的，形如?((x?x0)n)的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.2.1）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式。

特别的当（2.1）式中x0?0时，可得到

f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x?...?x??(xn) （2.2.2）

2!n!（2.2.2）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式。麦克劳林公式在数学分析

7

解题过程以及特殊问题的解决中有着重要应用。 2.3带有拉格朗日余项的泰勒公式

假设函数f(x)在|x?x0|?h上存在直至n?1阶的连续导函数，则对任一

x?[x0?h,x0?h],泰勒公式的余项为

f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1

(n?1)!其中??x0??(x?x0)为x0与x间的一个值.即有

f(n)(x0)f(n?1)(?)nf(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)?(x?x0)n?1

n!(n?1)!(2.3)

当n?0，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

f(x)?f(x0)?f?(?)(x?x0)

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 若令

f(n?1)(?)Rn(x)?(1??)n?1?p(x?x0)n?1p?n!则称Rn(x)为一般形式的余项公式, 其中??格朗日型余项．若令p?1，则得

f(n?1)(?)Rn(x)?(1??)n(x?x0)n?1n!(p?0)

??x0x?x0．在上式中，p?n?1即为拉

(p?0),

此式称为柯西余项公式．

当x0?0，得到泰勒公式：

f??(0)2f(n)(0)nf（n?1）(?x)n?1f(x)?f(0)?f?(0)x?x?...?x?x，(0???1)

2!n!(n?1)!（2.4）

则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式． 3泰勒公式的推广

8

3.1麦克劳林展开

函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中a取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若

在x=0处n阶连续可导，则下式成立：

其中

表示

的n阶导数。

3.2泰勒中值定理 若

在包含的某开区间（a，b）内具有直到n+1阶的导数，则当x∈（a，b）

时，有

其中

是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：4泰勒公式的应用 4.1泰勒级数

在数学学习中我们定义泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数。泰勒级数在近似计算中有重要作用，特别是麦克劳林级数经常应用于日常实际数学问题当中。为此给出常见的麦克劳林公式，在熟练掌握的基础上要学会灵活应用在实际问题当中。

泰勒级数作为数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面： （1）：幂级数的收敛理论；

（2）：如何把一个函数展开成泰勒级数。

我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．

直接展开法可按下列步骤进行： 第一步:求出函数的各阶导数f??x?,f???x???????f

?n??x?

9

第二步：求函数f（x）及其各项导数在f?x0?,f??x0????f?n??x0? 第三步：写出泰勒级数

f???x0?f?n??x0?2?x?x0???????x?x0?n???? f?x0??f??x0??x?x0??2!n!第四步：考察余项Rn?x?在x?的某一领域U?x??内极限是否为零 例1：展开三角函数解：根据导数表得：

最后可得：

其中

为皮亚诺余项：

或：

其中

同理我们可以求出常见函数麦克劳林公式：

10

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库泰勒公式及其应用(2)在线全文阅读。