泰勒公式及其应用

本科毕业论文

论文题目：泰勒公式及其应用 学生姓名：王子贺 学专

号：201100810613 业：数学与应用数学(金融与金融工程方向)

指导教师：崔振 学 院：数学科学学院

1 2015年 04月 20日

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毕业论文（设计）内容介绍

论文（设计） 题 目 选题时间 高等数学中的数形结合思想 论文（设计） 字数 2014、12 完成时间 2015、5 关 键 词 泰勒公式 应用 论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：泰勒公式作为数学分析的重要内容，利用微积分“逼近法”的思想，用简单的多项式函数近似的替代复杂函数，在近似运算方面发挥了巨大作用，成为研究函数极限和误差估计的重要理论工具。同时泰勒公式在求极限，判断级数的敛散性，证明不等式，求初等函数的幂级数展开式,证明根的唯一存在性,函数的凸凹性，拐点等方面都有着重要应用。为此，本文将对泰勒公式做出详细的介绍，在此基础上简述泰勒公式在求极限，判断级数的敛散性，证明不等式等方面的应用。对我们今后数学分析的学习和理解有着重要的意义。 论文（设计）的主要内容及创新点：本文将对泰勒公式做出详细的介绍，简要介绍了泰勒公式的几种推广，在此基础上简述泰勒公式在求极限，判断级数的敛散性，证明不等式等方面的应用。本文通过列举大量例题将抽象的泰勒公式问题简洁明了的呈现出来，利于理解以及掌握。最后简要论述了泰勒公式在经济学问题中的应用。 附：论文（设计）

本人签名： 年 月 日 2

泰勒公式及其应用

摘要：

泰勒公式作为数学分析的重要内容，利用微积分“逼近法”的思想，用简单的多项式函数近似的替代复杂函数，在近似运算方面发挥了巨大作用，成为研究函数极限和误差估计的重要理论工具。本文论述了泰勒公式的基本内容，简单介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式。进而探讨了泰勒公式在数学以及经济学中的广泛应用。

关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 应用

Abstract:As one of the important content of mathematics Analysis,the Taylor formula uses

the calculus\

with simple and

thought, instead

of approximate polynomial play

a

great

role

function

complex

function, which

in approximate calculation, obviously it has become an important theoretical tool to research the error estimation and function limit in calculus. This paper discusses the basic content of Taylor's formula,and introduces Taylor formula with Pei Jarno remainder and Lagrange remainder. In the end,this paper discuss the application of Taylor’s formula in the problem of calculate limit, determine the convergence of series, the proof of inequality, power series expansion for the elementary functions, uniqueness of the root,concave and convex function, the inflection point. Keywords: Taylor formula; Peano more than; Lagrange remainder; application

1.绪论 ............................................................................................................. 错误！未定义书签。

1.1泰勒公式的研究背景 ....................................................................... 错误！未定义书签。 1.2泰勒公式的研究意义 ....................................................................... 错误！未定义书签。 1.3泰勒公式的研究目的 ....................................................................... 错误！未定义书签。 2.泰勒公式........................................................................................................................................ 5

2.1泰勒公式 ............................................................................................................................. 5 2.2带有佩亚诺余项的泰勒公式 ............................................................................................. 6 2.3带有拉格朗日余项的泰勒公式 ......................................................................................... 7 3.泰勒公式的推广 ............................................................................................................................ 8

3.1迈克劳林展开 ..................................................................................................................... 8 3.2泰勒中值定理 ..................................................................................................................... 8 3.3多元泰勒公式 ..................................................................................................................... 9 4.泰勒公式的应用 ............................................................................................................................ 9

4.1应用泰勒公式求极限 ......................................................................................................... 9 4.2应用泰勒公式求近似值 ................................................................................................... 11 4.3应用泰勒公式求极值 ....................................................................................................... 13 4.4应用泰勒公式证明不等式 ............................................................................................... 16 4.5应用泰勒公式判断函数的凹凸性 ................................................................................... 19 4.6应用泰勒公式判断函数的拐点 ....................................................................................... 20

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4.7应用泰勒公式判断级数的敛散性 ................................................................................... 21 4.8泰勒公式在经济学中的应用 ........................................................................................... 22 5结束语.......................................................................................................................................... 24 6参考文献...................................................................................................................................... 24

1.绪论

1.1泰勒公式的研究背景

十七世纪以来，数学界人才辈出，近代微积分高速发展，极限作为数学研究的重要概念也被明确的提了出来。最初极限没有形成严谨完善的定义。可想而知，极限并没有被认可。最先给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克数学家贝尔纳·波尔查诺，但在很长一段时间中极限没有受到应有的重视。直至18世纪，数学家们才开始了对极限的深度研究柯，1820年法国数学家柯西创造性地使用极限理论将微积分学中的定理加以严格全面的证明。之后德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“???”方法，最终解决了之前存在的问题。经过长达近百年的研究和论证，极限在数学界中的地位不断提高，近代大量数学家都从事了相关问题的研究。泰勒、笛卡尔、费马等人都贡献了重要理论知识和实践研究。

泰勒公式的提出和发展也经历了相当漫长的过程。1715年泰勒出版《增量法及其逆》首次提出了泰勒公式，泰勒根据牛顿提出的有限差分法，推导出了格里戈里-牛顿插值公式,进而设初始变量为零,项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式。泰勒的理论在当时并没有引起关注和认可。直到1755年，瑞士数学家欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”，世人才开始渐渐认识并接受泰勒公式，后来拉格朗日另辟蹊径，采用带余项的级数作为其函数理论的基础，引起了数学家的广泛关注，一举确认了泰勒级数在数学研究以及应用中的重要地位。

泰勒公式作为分析和研究函数极限的重要理论工具，可以将复杂的问题简单化，并且能够满足较高的精确度和准确率，可以应用多个数学领域。为近代微积分的高速展提供了强有力的支持。

虽然泰勒公式应用于多个数学领域，但有些学者或学派不认同或很少提及泰勒公式，他们普遍认为泰勒公式不够严谨，不能完全适用于解题以及计算当中。因此在泰勒公式的应用方面还有很大的提升空间值得我们研究。 1.2泰勒公式的研究意义

泰勒公式作为数学分析学习的重要工具以及一元微积分的基本理论，在近似计算，求极限，不等式的近似计算等方面有着重要应用。因此，熟练掌握和应用泰勒公式有利于数学知识的学习。此外，在经济学，统计学，金融学等领域也可以利用泰勒公式解决实际问题。因此泰勒公式已经不仅仅应用在数学领域，更成为日常生活中解决实际问题的重要理论工具。

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1.3泰勒公式的研究目的

通过对泰勒公式的简单介绍和总结，拓宽泰勒公式在数学问题上的广泛应用，探究泰勒公式在具体数学问题上的应用，使泰勒公式成为被大家广泛接受的数学学习工具。进而讨论泰勒公式在其他领域的应用，使泰勒公式真正成为能够解决实际问题的重要工具和理论基础。

在数学学习的过程中我们可以发现很多函数都能用泰勒公式表示，特别在求函数的近似值，求函数的极值和判断级数收敛性的问题中泰勒公式都有着重要作用。正因为泰勒公式是数学学习和解决实际问题的重要理论工具，这就要求我们要掌握泰勒公式的基本思想和在各个领域中的具体应用，以便在今后的学习生活中更方便和灵活的研究一些运算复杂和函数问题，更好的利用泰勒公式解决各领域的实际问题。

2泰勒公式

2.1泰勒公式的定义及推导

给定一个函数f(x)在点x0处可微，则有：

f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x??(?x)

即 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x?x0)+?(x?x0)

即在点x0附近，用一次多项式f(x0)+f'(x0)(x?x0)逼近函数f(x)，为了提高近似的精确度，令p1?x?=pf(x0)+f'(x0)(x?x0)

为x的一次多项式，可得：

p1(x0)?f(x0)

p1'(x0)?f'(x0)

对于任意n次多项式pn(x)，要求:

'(n)pn(x0)?f(x0),pn(x0)?f'(x0), ?,pn(x0)?fn(x0)

令

pn(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n

逐次求在点x0处的各阶导数得：

' pn(x)?a1?2a2(x?x0)???nan(x?x0)n?1

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